微积分基本公式

积分上限的函数及其导数

定理 1

如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，那么积分分上限的函数

$$\Phi(x) = \int_a^x f(t) \, \mathrm{d} t$$

在 $[a, b]$ 上可导，并且它的导数

$$\Phi'(x) = \frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) \, \mathrm{d} t = f(x) \quad (a \leq x \leq b)$$

定理 2

如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，那么函数

$$\Phi(x) = \int_a^x f(t) \, \mathrm{d} t$$

就是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的一个原函数。

牛顿-莱布尼茨公式

定理 3 （微积分基本定理）

如果函数 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的一个原函数，那么

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a).$$