定积分的概念与性质

定积分的定义

定义

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，在 $[a,b]$ 中任意插入若干个分点

$$a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b$$

把区间 $[a,b]$ 分成 $n$ 个小区间：

$$[x_0, x_1], \quad [x_1, x_2], \quad \dots, \quad [x_{n-1}, x_n]$$

各个小区间的长度依次为：

$$\Delta x_1 = x_1 - x_0, \quad \Delta x_2 = x_2 - x_1, \quad \dots, \quad \Delta x_n = x_n - x_{n-1}$$

在每个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 上任选一点 $\xi_i \ (x_{i-1} \leq \xi_i \leq x_i)$，作函数值 $f(\xi_i)$ 与小区间长度 $\Delta x_i$ 的乘积 $f(\xi_i) \Delta x_i \ (i=1, 2, \cdots, n)$，并作出和：

$$S = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$$

记 $\lambda = \max \{ \Delta x_1, \Delta x_2, \cdots, \Delta x_n \}$，如果当 $\lambda \to 0$ 时，这和的极限总存在，且与闭区间 $[a,b]$ 的分法及点 $\xi_i$ 的取法无关，那么称这个极限 $I$ 为函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的 定积分 （简称 积分 ），记作： $\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d} x$ 即：

$$\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d} x = I = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$$

其中 $f(x)$ 叫做 被积函数 ， $f(x) \mathrm{d} x$ 叫做被积表达式 ， $x$ 叫做 积分变量 ， $a$ 叫做 积分下限 ， $b$ 叫做 积分上限 ， $[a,b]$ 叫做积分区间 。

定理 1

设 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积。

定理 2

设 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有界，且只有有限个间断点，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积。

定积分的性质

为了以后计算及应用方便起见，对定积分作以下两点补充规定：

1. 当 $b = a$ 时， $\int_a^a f(x) \, \mathrm{d} x = 0$ ；

2. 当 $a > b$ 时， $\int_a^b f(x) \, \mathrm{d} x = - \int_b^a f(x) \, \mathrm{d} x$ 。

由上述可知，交换定积分的上、下限时，定积分的绝对值不变而符号相反。 下面讨论定积分的性质。 下列各性质中积分上、下限的大小，如不特别指明，均不加限制，并假定各性质中所出现的被积函数在积分区间上都是可积的。

性质 1

设 $\alpha$ 与 $\beta$ 均为常数，则

$$\int_a^b \left[ \alpha f(x) + \beta g(x) \right] \mathrm{d} x = \alpha \int_a^b f(x) \mathrm{d} x + \beta \int_a^b g(x) \mathrm{d} x$$

性质 2

设 $a < c < b$，则

$$\int_a^b f(x) \mathrm{d} x = \int_a^c f(x) \mathrm{d} x + \int_c^b f(x) \mathrm{d} x$$

性质 3

如果在区间 $[a,b]$ 上 $f(x) \equiv 1$，那么

$$\int_{a}^{b} 1 \mathrm{d} x = \int_{a}^{b} \mathrm{d} x = b - a$$

性质 4

如果在区间 $[a,b]$ 上 $f(x) \geq 0$，那么

$$\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \geq 0 \quad (a < b)$$

推论 1

如果在区间 $[a,b]$ 上 $f(x) \leq g(x)$，那么

$$\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leq \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x \quad (a < b)$$

推论 2

$$\left| \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \right| \leq \int_{a}^{b} |f(x)| \mathrm{d} x \quad (a < b)$$

性质 5

设 $M$ 及 $m$ 分别是函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的最大值及最小值，则

$$m(b - a) \leq \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leq M(b - a) \quad (a < b)$$

性质 6 (定积分中值定理)

如果函数 $f(x)$ 在积分区间 $[a,b]$ 上连续，那么在 $[a,b]$ 上至少存在一个点 $\xi$，使下式成立：

$$\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x = f(\xi) (b - a) \quad (a \leq \xi \leq b)$$