函数 f(x)=ln(x+1)+1−x 的定义域为 (____)
- A. [−1,1]
- B. (−1,1]
- C. [−1,1)
- D. (−1,1)
答案解析
答案:B. (−1,1]
考点解析:常用简单函数及其定义域
解题思路:分别分析各组成部分的定义域,求其交集并验证边界点的合法性。
函数 f(x)=ln(x+1)+1−x 的定义域需要满足以下两个条件:
-
自然对数部分 ln(x+1) 的定义域:
要求对数的真数大于 0,即 x+1>0⟹x>−1,对应区间 (−1,+∞)。
-
平方根部分 1−x 的定义域:
要求根号内的表达式非负,即 1−x≥0⟹x≤1,对应区间 (−∞,1]。
定义域的交集:
函数 f(x) 的定义域是两部分定义域的交集,即满足 x>−1 且 x≤1,合并后为 (−1,1]。
验证边界点:
- 当 x=−1 时,ln(0) 无定义,因此 −1 不在定义域内(左开区间)。
- 当 x=1 时,ln(2) 和 0 均有定义,因此 1 包含在定义域内(右闭区间)。
x=1 是函数 f(x)=sin(x−1)x2−1 的(____)
- A. 可去间断点
- B. 跳跃间断点
- C. 振荡间断点
- D. 以上都不对
答案解析
答案:A. 可去间断点
考点解析:
本题考察 函数间断点的分类 ,
需判断 x=1 是否为函数 f(x)=sin(x−1)x2−1 的可去间断点、跳跃间断点、振荡间断点或其他类型。
解题思路:
- 化简表达式: 分子 x2−1 可分解为 (x−1)(x+1),分母 sin(x−1) 在 x→1 时等价于 x−1(利用等价无穷小替换)。
- 求极限: 当 x→1 时,原式近似为 x−1(x−1)(x+1)=x+1,极限为 2。
- 间断点类型: 由于极限存在且为有限值(2),但函数在 x=1 处无定义,因此 x=1 是 可去间断点(通过补充定义 f(1)=2 可使函数连续)。
f(x)=∣x−2∣ 在 x=2 处的导数是(____)
- A. 1
- B. 0
- C. −1
- D. 不存在
答案解析
答案:D. 不存在
考点解析:
同济高数八版 p77 例 7
- 绝对值函数的导数性质:绝对值函数 ∣x−a∣ 在 x=a 处不可导,因为左右导数不相等。
- 左右导数的定义:导数存在的充要条件是左导数与右导数存在且相等。
解题思路:
-
分段分析函数:
- 当 x>2 时,f(x)=x−2,此时导数为 f′(x)=1。
- 当 x<2 时,f(x)=2−x,此时导数为 f′(x)=−1。
-
计算左右导数:
-
右导数(h→0+):
h→0+limhf(2+h)−f(2)=h→0+limhh−0=1.
-
左导数(h→0−):
h→0−limhf(2+h)−f(2)=h→0−limh−h−0=−1.
-
结论:
由于左导数(−1)与右导数(1)不相等,f(x) 在 x=2 处的导数 不存在 。
∫−111+x2x3cosxdx= (____)
- A. 0
- B. 1
- C. 2
- D. −1
答案解析
答案:A. 0
考点解析:
解题思路:
定义:如果函数满足 f(−x)=−f(x),则称其为奇函数。
对于奇函数,有一个重要性质:
∫−aaf(x)dx=0
-
判断被积函数的奇偶性
- 分项分析:
- x3 是奇函数,因为 (−x)3=−x3;
- cosx 是偶函数,因为 cos(−x)=cosx;
- 1+x2 是偶函数,因为 1+(−x)2=1+x2。
- 综合考虑:
- 奇函数(x3)乘以偶函数(cosx)仍为奇函数;
- 奇函数除以偶函数(1+x2)仍保持奇函数的性质。
因此,整个被积函数满足 f(−x)=−f(x),是奇函数。
-
应用奇函数积分性质
由于被积函数为奇函数,而积分区间 [−1,1] 关于原点对称,根据奇函数的积分性质,
∫−111+x2x3cosxdx=0
关于函数 y=f(x) 在点 x=x0 处连续、可导及可微三者的关系,下列正确的是(____)
- A. 连续是可微的充分条件
- B. 可导是可微的充要条件
- C. 可微不是连续的充分条件
- D. 连续是可导的充要条件
答案解析
答案:B. 可导是可微的充要条件
考点解析:
解题思路:
-
A. 连续是可微的充分条件 ❌
- 反例:f(x)=∣x∣ 在 x=0 处连续,但不可导,因此更不可能可微。
- 说明连续并不一定可微,所以此选项错误。
-
B. 可导是可微的充要条件 ✅
- 从定义可知,可微的定义本身就是基于可导的条件,因此 可导是可微的充要条件,此选项正确。
-
C. 可微不是连续的充分条件 ❌
- 由于可微必然可导,可导必然连续,因此可微必然连续(即可微 ⇒ 连续)。
- 可微是连续的充分条件,而非“不是充分条件”,此选项错误。
-
D. 连续是可导的充要条件 ❌
- 反例:f(x)=∣x∣ 在 x=0 处连续但不可导,说明连续不是可导的充分条件。
- 反例:f(x)=x2sin(1/x)(x=0),f(0)=0,在 x=0 处可导但不连续,说明连续也不是可导的必要条件。
- 因此,连续不是可导的充要条件,选项错误。
下列等式正确的是(____)
- A. ∫df(x)=f(x)
- B. d∫f(x)dx=f(x)
- C. ∫f′(x)dx=f(x)
- D. dxd∫f(x)dx=f(x)
答案解析
答案:D. dxd∫f(x)dx=f(x)
考点解析:
- 原函数定义 :
如果 F(x) 是 f(x) 的一个原函数,则 ∫f(x)dx=F(x)+C
- 牛顿-莱布尼茨公式 :
dxd∫f(x)dx=f(x)
(严格意义上适用于定积分,但不定积分的求导仍然满足,可以看作是不定积分与求导互为逆运算的基本性质。)
解题思路:
-
选项 A : ∫df(x)=f(x)
- 错误,应该是 ∫df(x)=f(x)+C,少了一个积分常数 C。
-
选项 B : d∫f(x)dx=f(x)
- 错误,对不定积分 F(x)=∫f(x)dx 进行微分,应该得到 dF(x)=F′(x)dx=f(x)dx,而非 f(x)。
-
选项 C : ∫f′(x)dx=f(x)
- 错误,应为 ∫f′(x)dx=f(x)+C,缺少了积分常数 C。
-
选项 D : dxd∫f(x)dx=f(x)
- 正确,根据牛顿-莱布尼茨公式,微积分互为逆运算,成立。
函数 f(x)=2x−2−x 是(____)
- A. 奇函数
- B. 偶函数
- C. 有界函数
- D. 周期函数
答案解析
答案:A. 奇函数
考点解析:
解题思路:
-
判断奇偶性
−f(x)=−(2x−2−x)=−2x+2−x=2−x−2x=f(−x)
因此,f(x) 是 奇函数 ,选项 A 正确。
-
判断有界性
考虑 f(x)=2x−2−x 的极限:
- 当 x→+∞ 时,2x 迅速增大,而 2−x→0,因此 f(x)→+∞。
- 当 x→−∞ 时,2−x 迅速增大,而 2x→0,因此 f(x)→−∞。
由于 f(x) 的值域为 (−∞,+∞),它不是有界函数,选项 C 错误。
-
判断周期性
若 f(x) 为周期函数,则存在 T>0 使得: f(x+T)=f(x)
即: 2x+T−2−(x+T)=2x−2−x
整理可得: 2x(2T−2−T)=2x−2−x
即: 2x(2T−2−T−1)=−2−x
由于 2x 不恒为 0,要求恒成立,则 2T−2−T−1=0。
该方程无满足 T>0 的解,因此 f(x) 不是周期函数,选项 D 错误。
设函数 y=y(x) 由方程 ex+y+x2y=1 确定,则 dxdyx=0= (____)
- A. e
- B. −e
- C. −1
- D. 1
答案解析
答案:C. −1
考点解析:
解题思路:
-
求 x=0 时的 y 值:
将 x=0 代入原方程得:
e0+y+02⋅y=1⟹ey=1⟹y=0.
指数运算规则
规定,对任何非零实数 a,有: a0=1(a=0)
-
对原方程两边关于 x 求导:
dxd(ex+y+x2y)dxdex+y+dxd(x2y)=dxd(1)=0
-
第一项求导( 链式法则 ):
dxdex+y=ex+y⋅(1+dxdy)
-
第二项求导( 乘积法则 ):
dxd(x2y)=2xy+x2dxdy
将两部分合并,得方程:
ex+y(1+dxdy)+2xy+x2dxdy=0
-
代入 x=0 和 y=0:
当 x→0 时, 1−xsinx−1 是 x2 的(____)
- A. 高阶无穷小
- B. 同阶不等价无穷小
- C. 低阶无穷小
- D. 等价无穷小
答案解析
答案:B. 同阶不等价无穷小
考点解析:
无穷小的比较
解题思路:
可通过极限判断无穷小的阶数和等价性。
x→0limx21−xsinx−1
-
有理化分子:
分子 1−xsinx−1 包含根号,直接代入 x=0 会导致 00 型未定式。
为了消除根号,采用 有理化 技巧:
最终表达式变为:
x→0limx2(1−xsinx+1)−xsinx
-
简化极限:
-
约分 x:
分子中的 x 与分母中的 x2 约分后,分母剩余一个 x,分子变为 −sinx。
表达式简化为:
x→0limx(1−xsinx+1)−sinx
-
等价无穷小替换:
-
代入极限:
极限结果为非零常数 −21,说明:
- 1−xsinx−1 与 x2 的比值为常数,即 同阶无穷小。
- 但比值不等于 1,故 不等价。
设 f′(x0)=1 ,则 h→0lim=hf(x0+2h)−f(x0−3h)= (____)
- A. 6
- B. 5
- C. 4
- D. 3
答案解析
答案:B. 5
考点解析:
导数的定义
解题思路:
-
拆分分子:
hf(x0+2h)−f(x0−3h)=hf(x0+2h)−f(x0)+hf(x0)−f(x0−3h).
-
处理第一个差商:
hf(x0+2h)−f(x0)=2⋅2hf(x0+2h)−f(x0).
当 h→0 时,2h→0,根据导数定义:
h→0lim2⋅2hf(x0+2h)−f(x0)=2f′(x0)=2×1=2
-
处理第二个差商:
hf(x0)−f(x0−3h)=3⋅3hf(x0)−f(x0−3h)
当 h→0 时,−3h→0,根据导数定义:
h→0lim3⋅3hf(x0)−f(x0−3h)=3f′(x0)=3×1=3
-
合并结果:
h→0limhf(x0+2h)−f(x0−3h)=2+3=5
曲线 y=x2 与直线 y=1 所围成图形的面积是(____)
- A. 32
- B. 43
- C. 34
- D. 1
答案解析
答案:C. 34
考点解析:
- 定积分的几何应用 :通过积分计算曲线与直线围成的面积。
- 对称性的应用:利用偶函数的对称性简化计算。
- 积分上下限的确定:通过联立方程求交点以确定积分区间。
解题思路:
-
求交点:
x2=1⟹x=±1
积分区间为 [−1,1] 。
-
设定积分表达式:
面积=∫−11(1−x2)dx
-
应用对称性简化计算:
面积=2∫01(1−x2)dx
-
计算积分:
∫(1−x2)dx=x−3x3+C
代入上下限 0 到 1 :
[x−3x3]01=(1−31)−(0−0)=32
-
乘以对称因子:
面积=2×32=34
方程 y′−3y=0 的通解是(____)
- A. y=e−3x+C
- B. y=Ce3x
- C. y=Ce−3x
- D. y=Cex+3
答案解析
答案:B. y=Ce3x
考点解析:
- 一阶线性齐次微分方程的解法 ;
- 分离变量法 或积分因子法的应用;
- 指数函数在微分方程解中的形式。
解题思路:
-
方程整理:
原方程为 y′−3y=0,可改写为 dxdy=3y。
-
分离变量:
将方程分离变量得:
ydy=3dx
-
积分运算:
对两边积分:
∫y1dy=∫3dx
左边积分结果为 ln∣y∣,右边为 3x+C(C 为常数),即:
ln∣y∣=3x+C
-
解出 y:
取指数函数消去自然对数:
y=e3x+C=eC⋅e3x
令 C=eC(仍为任意常数),通解为:
y=Ce3x
设方程 e2z=xyz 确定函数 z=f(x,y) ,则 ∂x∂z= (____)
- A. x(2x−1)z
- B. x(2x+1)z
- C. x(2x−1)y
- D. x(2x+1)y
答案解析
答案:A. x(2x−1)z
考点解析:
- 隐函数求导法 ;
- 链式法则 ;
- 代数表达式的化简与替换。
解题思路:
-
将原方程改写为隐函数形式 F(x,y,z)=e2z−xyz=0,分别求 偏导数 :
- Fx=∂x∂F=−yz
- Fz=∂z∂F=2e2z−xy
-
根据隐函数定理公式计算偏导数:
∂x∂z=−FzFx=−2e2z−xy−yz=2e2z−xyyz
-
利用原方程 e2z=xyz 替换 2e2z:
2e2z=2xyz⇒2e2z−xy=xy(2z−1)
-
代入原方程化简表达式,消去中间变量 e2z :
∂x∂z=xy(2z−1)yz=x(2z−1)z
微分方程 y′′+2y′+2y=0 的通解为(____)
- A. y=C1+C2e−x
- B. y=C1ex+C2e−x
- C. y=e−x(C1cosx+C2sinx)
- D. y=ex(C1cosx+C2sinx)
答案解析
答案:C. y=e−x(C1cosx+C2sinx)
考点解析:
- 二阶常系数齐次线性微分方程的解法
通过特征方程法求解通解。
- 复数根情形下的通解形式
特征方程为共轭复数根时,通解为指数函数与三角函数的组合。
解题思路:
-
写出特征方程:
将微分方程 y′′+2y′+2y=0 中的 y′′、y′、y 分别替换为 r2、r、1,得到特征方程:
r2+2r+2=0
-
求解特征根:
使用求根公式 r=2a−b±b2−4ac,代入 a=1,b=2,c=2,计算判别式:
Δ=22−4⋅1⋅2=−4
由于判别式为负数,特征根为一对共轭复数:
r=2−2±−4=−1±i
-
根据复数根写出通解:
当特征根为 α±βi 时,通解为:
y=eαx(C1cos(βx)+C2sin(βx))
此处 α=−1,β=1,因此通解为:
y=e−x(C1cosx+C2sinx)
设区域 D={(x,y)∣1≤x2+y2≤9} ,则二重积分 D∬x2+y2dxdy= (____)
- A. ∫02πdθ∫13r2dr
- B. ∫02πdθ∫19r2dr
- C. ∫02πdθ∫13rdr
- D. ∫02πdθ∫19rdr
答案解析
答案:A. ∫02πdθ∫13r2dr
考点解析:
- 极坐标系下的二重积分转换 :
将笛卡尔坐标系下的二重积分转换为极坐标系。
- 面积元素的极坐标形式:dxdy→rdrdθ。
- 积分区域的极坐标描述:根据区域 D 的几何形状确定 r 和 θ 的范围。
解题思路:
- 区域 D 是环形区域 1≤x2+y2≤9,对应极坐标下 1≤r≤3,θ∈[0,2π]。
- 被积函数 x2+y2 在极坐标下为 r。
- 结合面积元素 rdrdθ,被积函数变为 r⋅r=r2。
将积分转换为极坐标形式:
D∬x2+y2dxdy=∫02π∫13r⋅rdrdθ=∫02πdθ∫13r2dr