齐次方程

齐次方程

　　如果一阶微分方程可化成

$$\tag{3-1} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \varphi \left( \frac{y}{x} \right)$$

的形式，那么就称这方程为 齐次方程，例如

$$(xy - y^2) \mathrm{d} x - (x^2 - 2xy) \mathrm{d} y = 0$$

是齐次方程，因为它可化成

$$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{xy - y^2}{x^2 - 2xy}$$

即

$$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{\frac{y}{x} - \left( \frac{y}{x} \right)^2}{1 - 2 (\frac{y}{x})}$$

　　在齐次方程

$$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \varphi \left( \frac{y}{x} \right)$$

中，引进新的未知函数

$$\tag{3-2} u = \frac{y}{x}$$

就可把它化为可分离变量的方程。 因为由 (3-2) 有

$$y = ux, \quad \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = u + x \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}$$

代入方程 (3-1)，便得方程

$$u + x \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} = \varphi (u)$$

即

$$x \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} = \varphi (u) - u$$

分离变量，得

$$\frac{\mathrm{d} u}{\varphi (u) - u} = \frac{\mathrm{d} x}{x}$$

两端积分，得

$$\int \frac{\mathrm{d} u}{\varphi (u) - u} = \int \frac{\mathrm{d} x}{x}$$

求出积分后，再以 $\frac{y}{x}$ 代替 $u$ ，便得所给齐次方程的通解。

可化为齐次公式

// TODO: 不考