高阶线性微分方程

线性微分方程的解的结构

先讨论二阶齐次线性方程

$$\tag{6-6} y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0$$

定理 1

如果函数 $y_1(x)$ 与 $y_2(x)$ 是方程 (6-6) 的两个解，那么

$$\tag{6-7} y = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x)$$

也是 (6-6) 的解，其中 $C_1, C_2$ 是任意常数。

定理 2

如果 $y_1(x)$ 与 $y_2(x)$ 是方程 (6-6) 的两个线性无关的特解，那么

$$y = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) \quad (C_1, C_2 \text{ 是任意常数})$$

就是方程 (6-6) 的通解。

推论

如果 $y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x)$ 是 $n$ 阶齐次线性方程

$$y^{(n)} + a_1(x) y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}(x) y' + a_n(x) y = 0$$

的 $n$ 个线性无关的解，那么此方程的通解为

$$y = C_1 y_1(x) + C_2 y_2 (x) + \cdots + C_n y_n(x)$$

其中 $C_1, C_2, \cdots, C_n$ 为任意常数。

定理 3

设 $y^* (x)$ 是二阶非齐次线性方程

$$\tag{6-5} y'' + P(x) y' + Q(x) y = f(x)$$

的一个特解。 $Y(x)$ 是与 (6-5) 对应的齐次方程 (6-6) 的通解，则

$$y = Y(x) + y^*(x)$$

是二阶非齐次线性微分方程 (6-5) 的通解。

定理 4

设非齐次线性方程 (6-5) 的右端 $f(x)$ 是两个函数之和，即

$$\tag{6-9} y'' + P(x)y' + Q(x)y = f_1(x) + f_2(x)$$

而 $y_1^*(x)$ 与 $y_2^*(x)$ 分别是方程

$$y'' + P(x)y' + Q(x)y = f_1(x)$$

与

$$y'' + P(x)y' + Q(x)y = f_2(x)$$

的特解，则 $y_1^*(x) + y_2^*(x)$ 就是原方程的特解。