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常系数齐次线性微分方程

　　先讨论二阶常系数齐次线性微分方程的解法，再把二阶方程的解法推广到 nn 阶方程。

　　在二阶齐次线性微分方程

y′′+P(x)y′+Q(x)y=0(7-1)\tag{7-1} y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0

中，如果 y′,yy', y 的系数 P(x),Q(x)P(x), Q(x) 均为常数，即 (7-1) 式成为

y′′+py′+qy=0(7-2)\tag{7-2} y'' + p y' + q y = 0

其中 p,qp, q 是常数，那么称 (7-2) 为 二阶常系数齐次线性微分方程 。
如果 p,qp, q 不全为常数，称 (7-1) 为 二阶变系数齐次线性微分方程 。

　　由上节讨论可知，要找微分方程 (7-2) 的通解，可以先求出它的两个解 y1,y2y_1, y_2 如果它们之比不为常数，即 y1y_1 与 y2y_2 线性无关,那么 y=C1y+C2y2y = C_1 y + C_2 y_2 就是方程 (7-2) 的通解。

　　当 rr 为常数时，指数函数 y=erxy = e^{rx} 和它的各阶导数都只相差一个常数因子。 由于指数函数有这个特点，因此我们用 y=erxy = e^{rx} 来尝试，看能否选取适当的常数 rr ，使 y=erxy = e^{rx} 满足方程 (7-2) 。

　　将 y=erxy = e^{rx} 求导，得到

y′=rerx,y′′=r2erxy' = re^{rx}, \quad y'' = r^2e^{rx}

当 rr 为复数 a+bia + b \mathrm{i}，xx 为实变量时，导数公式 ddxerx=rerx\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} e^{rx} = r e^{rx} 仍成立。事实上，对欧拉公式

e(a+bi)x=eax(cos⁡bx+isin⁡bx)e^{(a + b \mathrm{i}) x} = e^{ax} (\cos bx + \mathrm{i} \sin bx)

两端求导，得

ddxe(a+bi)x=aeax(cos⁡bx+isin⁡bx)+eax(−bsin⁡bx+ibcos⁡bx)=(a+bi)eax(cos⁡bx+isin⁡bx)=(a+bi)e(a+bi)x\begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} e^{(a+b \mathrm{i}) x} & = a e^{ax} (\cos bx + \mathrm{i} \sin bx) + e^{ax} (-b \sin bx + \mathrm{i} b \cos bx) \\ & = (a + b \mathrm{i}) e^{ax} (\cos bx + \mathrm{i} \sin bx) = (a + b \mathrm{i}) e^{(a+b \mathrm{i}) x} \end{align*}

把 y,y′y, y' 和 y′′y'' 代入方程 (7-2) ，得

(r2+pr+q)erx=0(r^2 + pr + q) e^{rx} = 0

由于 erx≠0e^{rx} \neq 0 ，所以

r2+pr+q=0(7-3)\tag{7-3} r^2 + pr + q = 0

　　由此可见，只要 rr 满足代数方程 (7-3) ，函数 y=erxy = e^{rx} 就是微分方程 (7-2) 的解， 我们把代数方程 (7-3) 叫做微分方程 (7-2) 的 特征方程 。

　　特征方程 (7-3) 是一个二次代数方程，其中 r2,rr^2, r 的系数及常数项恰好依次是微分方程 (7-2) 中 y′′y''，y′y' 及 yy 的系数。

　　特征方程 (7-3) 的两个根 r1r_1，r2r_2 可以用以下公式求出：

r1,2=−p±p2−4q2r_{1,2} = \frac{-p \pm \sqrt{p^2 - 4q}}{2}

它们有三种不同的情形：

  1. 当 p2−4q>0p^2 - 4q > 0 时，r1,r2r_1, r_2 是两个不相等的实根

    r1=−p+p2−4q2,r2=−p−p2−4q2r_1 = \frac{-p + \sqrt{p^2 - 4q}}{2}, \quad r_2 = \frac{-p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2}

  2. 当 p2−4q=0p^2 - 4q = 0 时，r1,r2r_1, r_2 是两个相等的实根

    r1=r2=−p2r_1 = r_2 = \frac{-p}{2}

  3. 当 p2−4q<0p^2 - 4q < 0 时，r1,r2r_1, r_2 是一对共轭复根

    r1=α+βi,r2=α−βir_1 = \alpha + \beta \mathrm{i}, \quad r_2 = \alpha - \beta \mathrm{i}

    其中

    α=−p2,β=4q−p22\alpha = \frac{-p}{2}, \quad \beta = \frac{\sqrt{4q - p^2}}{2}

　　相应地，微分方程 (7-2) 的通解也有三种不同的情形，分别讨论如下：

  1. 特征方程有两个不相等的实根：r1≠r2r_1 \neq r_2

    　　由上面的讨论知道，y1=er1x,y2=er2xy_1 = e^{r_1 x}, y_2 = e^{r_2 x} 是微分方程 (7-2) 的两个解，并且 y2y1=er2xer1x=e(r2−r1)x\frac{y_2}{y_1} = \frac{e^{r_2 x}}{e^{r_1 x}} = e^{(r_2 - r_1) x} 不是常数，因此微分方程 (7-2) 的通解为

    y=C1er1x+C2er2xy = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}

  2. 特征方程有两个相等的实根：r1=r2r_1 = r_2

    　　这时，只得到微分方程 (7-2) 的一个解

    y1=er1xy_1 = e^{r_1 x}

    　　为了得出微分方程 (7-2) 的通解，还需求出另一个解 y2y_2，并且要求 y2y1\frac{y_2}{y_1} 不是常数。 设 y2y1=u(x)\frac{y_2}{y_1} = u(x) ，即 y2=er1xu(x)y_2 = e^{r_1 x} u(x) 。 下面来求 u(x)u(x) 。 将 y2y_2 求导，得

    y2′=er1x(u′+r1u)y2′′=er1x(u′′+2r1u′+r12u)\begin{align*} y_2' & = e^{r_1 x} (u' + r_1 u) \\ y_2'' & = e^{r_1 x} (u'' + 2r_1 u' + r_1^2 u) \end{align*}

    将 y2,y2′,y2′′y_2, y_2', y_2'' 代入微分方程 (7-2)，得

    er1x[(u′′+2r1u′+r12u)+p(u′+r1u)+qu]=0e^{r_1 x} \left[ (u'' + 2r_1 u' + r_1^2 u) + p (u' + r_1 u) + q u \right] = 0

    约去 er1xe^{r_1 x}，并合并同类项，得

    u′′+(2r1+p)u′+(r12+pr1+q)u=0u'' + (2r_1 + p) u' + (r_1^2 + p r_1 + q) u = 0

    由于 r1r_1 是特征方程 (7-3) 的二重根。 因此 r12+pr1+q=0r_1^2 + p r_1 + q = 0，且 2r1+p=02r_1 + p = 0，于是得

    u′′=0u'' = 0

    因为这里只要得到一个不为常数的解，所以不妨选取 u=xu = x，由此得到微分方程 (7-2) 的另一个解

    y2=xer1xy_2 = x e^{r_1 x}

    从而微分方程 (7-2) 的通解为

    y=C1er1x+C2xer1xy = C_1 e^{r_1 x} + C_2 x e^{r_1 x}

    即

    y=(C1+C2x)er1xy = (C_1 + C_2 x) e^{r_1 x}

  3. 特征方程有一对共轭复根：r1=α+βi, r2=α−βi (β≠0)r_1 = \alpha + \beta \mathrm{i}, \, r_2 = \alpha - \beta \mathrm{i} \, (\beta \neq 0)

    　　这时，y1=e(α+βi)x, y2=e(α−βi)xy_1 = e^{(\alpha + \beta \mathrm{i}) x}, \, y_2 = e^{(\alpha - \beta \mathrm{i})x} 是微分方程 (7-2) 的两个解，但它们是复值函数形式。 为了得出实值函数形式的解，先利用欧拉公式 eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{\mathrm{i} \theta} = \cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta 把 y1,y2y_1, y_2 改写为

    y1=e(α+βi)x=eαx⋅eβxi=eαx(cos⁡βx+isin⁡βx)y2=e(α−βi)x=eαx⋅e−βxi=eαx(cos⁡βx−isin⁡βx)\begin{align*} y_1 & = e^{(\alpha + \beta \mathrm{i}) x} = e^{\alpha x} \cdot e^{\beta x \mathrm{i}} = e^{\alpha x} (\cos \beta x + \mathrm{i} \sin \beta x) \\ y_2 & = e^{(\alpha - \beta \mathrm{i}) x} = e^{\alpha x} \cdot e^{-\beta x \mathrm{i}} = e^{\alpha x} (\cos \beta x - \mathrm{i} \sin \beta x) \end{align*}

    由于复值函数 y1y_1 与 y2y_2 之间成共轭关系，因此，取它们的和除以 22 就得到它们的实部，取它们的差除以 2i2 \mathrm{i} 就得到它们的虚部。 由于方程 (7-2) 的解符合叠加原理，所以实值函数

    yˉ1=12(y1+y2)=eαxcos⁡βx,yˉ2=12i(y1−y2)=eαxsin⁡βx\bar{y}_1 = \frac{1}{2} (y_1 + y_2) = e^{\alpha x} \cos \beta x, \quad \bar{y}_2 = \frac{1}{2 \mathrm{i}} (y_1 - y_2) = e^{\alpha x} \sin \beta x

    还是微分方程 (7-2) 的解，且 yˉ1yˉ2=eαxcos⁡βxeαxsin⁡βx=cot⁡βx\frac{\bar{y}_1}{\bar{y}_2} = \frac{e^{\alpha x} \cos \beta x}{e^{\alpha x} \sin \beta x} = \cot \beta x 不是常数，所以微分方程 (7-2) 的通解为

    y=eαx(C1cos⁡βx+C2sin⁡βx).y = e^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x).

　　综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程

y′′+py′+qy=0(7-2)\tag{7-2} y'' + py' + qy = 0

的通解的步骤如下：

  • 第一步 写出微分方程 (7-2) 的特征方程

    r2+pr+q=0(7-3)\tag{7-3} r^2 + pr + q = 0

  • 第二步 求出特征方程 (7-3) 的两个根 r1,r2r_1, r_2 。

  • 第三步 根据特征方程 (7-3) 的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程 (7-2) 的通解：

    特征方程 r2+pr+q=0r^2 + pr + q = 0 的两个根 r1,r2r_1, r_2微分方程 y′′+py′+qy=0y'' + py' + qy = 0 的通解
    两个不相等的实根 r1,r2r_1, r_2y=C1er1x+C2er2xy = C_1 e^{r_{1^x}} + C_2 e^{r_{2^x}}
    两个相等的实根 r1=r2r_1 = r_2y=(C1+C2x)er1xy = (C_1 + C_2 x) e^{r_{1^x}}
    一对共轭复根 r1,2=α±βir_{1,2} = \alpha \pm \beta \mathrm{i}y=eαx(C1cos⁡βx+C2sin⁡βx)y = e^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)