常系数齐次线性微分方程

在二阶齐次线性微分方程

$$\tag{7-1} y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0$$

中，如果 $y', y$ 的系数 $P(x), Q(x)$ 均为常数，即 (7-1) 式成为

$$\tag{7-2} y'' + p y' + q y = 0$$

其中 $p, q$ 是常数，那么称 (7-2) 为 二阶常系数齐次线性微分方程 。
如果 $p, q$ 不全为常数，称 (7-1) 为 二阶变系数齐次线性微分方程 。

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求二阶常系数齐次线性微分方程

$$\tag{7-2} y'' + py' + qy = 0$$

的通解的步骤如下：

• 第一步 写出微分方程 (7-2) 的特征方程

  $$\tag{7-3} r^2 + pr + q = 0$$

• 第二步 求出特征方程 (7-3) 的两个根 $r_1, r_2$ 。

• 第三步 根据特征方程 (7-3) 的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程 (7-2) 的通解：

  特征方程 $r^2 + pr + q = 0$ 的两个根 $r_1, r_2$	微分方程 $y'' + py' + qy = 0$ 的通解
  两个不相等的实根 $r_1, r_2$	$y = C_1 e^{r_{1^x}} + C_2 e^{r_{2^x}}$
  两个相等的实根 $r_1 = r_2$	$y = (C_1 + C_2 x) e^{r_{1^x}}$
  一对共轭复根 $r_{1,2} = \alpha \pm \beta \mathrm{i}$	$y = e^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$