先讨论二阶常系数齐次线性微分方程的解法,再把二阶方程的解法推广到 n 阶方程。
在二阶齐次线性微分方程
y′′+P(x)y′+Q(x)y=0(7-1)
中,如果 y′,y 的系数 P(x),Q(x) 均为常数,即 (7-1) 式成为
y′′+py′+qy=0(7-2)
其中 p,q 是常数,那么称 (7-2) 为 二阶常系数齐次线性微分方程 。
如果 p,q 不全为常数,称 (7-1) 为 二阶变系数齐次线性微分方程 。
由上节讨论可知,要找微分方程 (7-2) 的通解,可以先求出它的两个解 y1,y2
如果它们之比不为常数,即 y1 与 y2 线性无关,那么 y=C1y+C2y2 就是方程 (7-2) 的通解。
当 r 为常数时,指数函数 y=erx 和它的各阶导数都只相差一个常数因子。
由于指数函数有这个特点,因此我们用 y=erx 来尝试,看能否选取适当的常数 r ,使 y=erx 满足方程 (7-2) 。
将 y=erx 求导,得到
y′=rerx,y′′=r2erx
当 r 为复数 a+bi,x 为实变量时,导数公式
dxderx=rerx
仍成立。事实上,对欧拉公式
e(a+bi)x=eax(cosbx+isinbx)
两端求导,得
dxde(a+bi)x=aeax(cosbx+isinbx)+eax(−bsinbx+ibcosbx)=(a+bi)eax(cosbx+isinbx)=(a+bi)e(a+bi)x
把 y,y′ 和 y′′ 代入方程 (7-2) ,得
(r2+pr+q)erx=0
由于 erx=0 ,所以
r2+pr+q=0(7-3)
由此可见,只要 r 满足代数方程 (7-3) ,函数 y=erx 就是微分方程 (7-2) 的解,
我们把代数方程 (7-3) 叫做微分方程 (7-2) 的 特征方程 。
特征方程 (7-3) 是一个二次代数方程,其中 r2,r 的系数及常数项恰好依次是微分方程 (7-2) 中 y′′,y′ 及 y 的系数。
特征方程 (7-3) 的两个根 r1,r2 可以用以下公式求出:
r1,2=2−p±p2−4q
它们有三种不同的情形:
-
当 p2−4q>0 时,r1,r2 是两个不相等的实根
r1=2−p+p2−4q,r2=2−p−p2−4q
-
当 p2−4q=0 时,r1,r2 是两个相等的实根
r1=r2=2−p
-
当 p2−4q<0 时,r1,r2 是一对共轭复根
r1=α+βi,r2=α−βi
其中
α=2−p,β=24q−p2
相应地,微分方程 (7-2) 的通解也有三种不同的情形,分别讨论如下:
-
特征方程有两个不相等的实根:r1=r2
由上面的讨论知道,y1=er1x,y2=er2x 是微分方程 (7-2) 的两个解,并且
y1y2=er1xer2x=e(r2−r1)x
不是常数,因此微分方程 (7-2) 的通解为
y=C1er1x+C2er2x
-
特征方程有两个相等的实根:r1=r2
这时,只得到微分方程 (7-2) 的一个解
y1=er1x
为了得出微分方程 (7-2) 的通解,还需求出另一个解 y2,并且要求 y1y2 不是常数。
设 y1y2=u(x) ,即 y2=er1xu(x) 。
下面来求 u(x) 。
将 y2 求导,得
y2′y2′′=er1x(u′+r1u)=er1x(u′′+2r1u′+r12u)
将 y2,y2′,y2′′ 代入微分方程 (7-2),得
er1x[(u′′+2r1u′+r12u)+p(u′+r1u)+qu]=0
约去 er1x,并合并同类项,得
u′′+(2r1+p)u′+(r12+pr1+q)u=0
由于 r1 是特征方程 (7-3) 的二重根。
因此 r12+pr1+q=0,且 2r1+p=0,于是得
u′′=0
因为这里只要得到一个不为常数的解,所以不妨选取 u=x,由此得到微分方程 (7-2) 的另一个解
y2=xer1x
从而微分方程 (7-2) 的通解为
y=C1er1x+C2xer1x
即
y=(C1+C2x)er1x
-
特征方程有一对共轭复根:r1=α+βi,r2=α−βi(β=0)
这时,y1=e(α+βi)x,y2=e(α−βi)x
是微分方程 (7-2) 的两个解,但它们是复值函数形式。
为了得出实值函数形式的解,先利用欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθ
把 y1,y2 改写为
y1y2=e(α+βi)x=eαx⋅eβxi=eαx(cosβx+isinβx)=e(α−βi)x=eαx⋅e−βxi=eαx(cosβx−isinβx)
由于复值函数 y1 与 y2 之间成共轭关系,因此,取它们的和除以 2 就得到它们的实部,取它们的差除以 2i 就得到它们的虚部。
由于方程 (7-2) 的解符合叠加原理,所以实值函数
yˉ1=21(y1+y2)=eαxcosβx,yˉ2=2i1(y1−y2)=eαxsinβx
还是微分方程 (7-2) 的解,且
yˉ2yˉ1=eαxsinβxeαxcosβx=cotβx
不是常数,所以微分方程 (7-2) 的通解为
y=eαx(C1cosβx+C2sinβx).
综上所述,求二阶常系数齐次线性微分方程
y′′+py′+qy=0(7-2)
的通解的步骤如下:
-
第一步 写出微分方程 (7-2) 的特征方程
r2+pr+q=0(7-3)
-
第二步 求出特征方程 (7-3) 的两个根 r1,r2 。
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第三步 根据特征方程 (7-3) 的两个根的不同情形,按照下列表格写出微分方程 (7-2) 的通解:
特征方程 r2+pr+q=0 的两个根 r1,r2 | 微分方程 y′′+py′+qy=0 的通解 |
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两个不相等的实根 r1,r2 | y=C1er1x+C2er2x |
两个相等的实根 r1=r2 | y=(C1+C2x)er1x |
一对共轭复根 r1,2=α±βi | y=eαx(C1cosβx+C2sinβx) |