跳到主要内容

微分方程的基本概念

一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做 微分方程 ，有时也简称 方程 。

微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做 微分方程的阶 。

一阶微分方程：

dydx=2x\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 2x

二阶微分方程：

d2sdt2=2x\frac{\mathrm{d}^2 s}{\mathrm{d} t^2} = 2x

三阶微分方程：

x3y′′′+x2y′′−4xy′=3x2x^3y''' + x^2y'' - 4xy' = 3x^2

四阶微分方程：

y(4)−4y′′′+10y′′−12y′+5y=sin⁡2xy^{(4)} - 4y''' + 10y'' - 12y' + 5y = \sin 2x

一般地， nn 阶微分方程的形式是

F(x,y,y′,⋯ ,y(n))=0(1-11)\tag{1-11} F(x, y, y', \cdots, y^{(n)}) = 0

这里必须指出，在方程（1-11）中， y(n)y^{(n)} 是必须出现的，而 x,y,y′,⋯ ,y(n−1)x, y, y', \cdots, y^{(n-1)} 等则可以不出现。 例如 nn 阶微分方程

y(n)+1=0y^{(n)} + 1 = 0

中，除 y(n)y^{(n)} 外， yy 的其他阶导数和自变量 xx 都没有出现。

如果能从方程（1-11）中解出最高阶导数，那么可得微分方程

y(n)=f(x,y,y′,⋯ ,y(n−1))(1-12)\tag{1-12} y^{(n)} = f(x, y, y', \cdots, y^{(n-1)})

以后我们讨论的微分方程都是已解出最高阶导数的方程或能解出最高阶导数的方程。

由前面的例子我们看到，在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数（解微分方程），就是说，找出这样的函数，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。 这个函数就叫做该 微分方程的解 。 确切地说，设函数 y=φ(x)y = \varphi (x) 在区间 II 上有 nn 阶连续导数，如果在区间 II 上，

f[x,φ(x),φ′(x),⋯ ,φ(n)(x)]≡0f[x, \varphi(x), \varphi'(x), \cdots, \varphi^{(n)}(x)] \equiv 0

那么函数 y=φ(x)y = \varphi(x) 就叫做 微分方程 （1-11） 在区间 II 上的解 。

如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做 微分方程的通解 。

由于通解中含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映函数所代表的某一个客观事物的规律性。 要完全确定地反映客观事物的规律性，必须确定这些常数的值。 为此，要根据问题的实际情况,提出确定这些常数的条件。

设微分方程中的未知函数为 y=φ(x)y = \varphi(x) ，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是

x=x0 时,y=y0x = x_0 \text{ 时}, \quad y = y_0

或写成

y∣x=x0=y0y|_{x=x_0} = y_0

其中 x0,y0x_0, y_0 都是给定的值； 如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是

x=x0 时,y=y0,y′=y0′x = x_0 \text{ 时}, \quad y = y_0, \quad y' = y_0'

或写成

y∣x=x0=y0,y′∣x=x0=y0′y |_{x=x_0} = y_0, \quad y'|_{x=x_0} = y_0'

其中 x0,y0x_0, y_0 和 y0′y_0' 都是给定的值。 上述这种条件叫做 初值条件 。

确定了通解中的任意常数以后，就得到 微分方程的特解 。

求微分方程 y′=f(x,y)y' = f(x, y) 满足初值条件 y′∣x=x0=y0y' |_{x=x_0} = y_0 的特解这样一个问题，叫做一阶微分方程的 初值问题 ，记作

{y′=f(x,y)y∣x=x0=y0(1-13)\tag{1-13} \begin{cases} y' = f(x, y) \\ y |_{x=x_0} = y_0 \end{cases}

微分方程的解的图形是一条曲线，叫做 微分方程的积分曲线 。 初值问题（1-13）的几何意义，就是求微分方程的通过点 (x0,y0)(x_0, y_0) 的那条积分曲线。 二阶微分方程的初值问题

{y′′=f(x,y,y′)y∣x=x0=y0,  y′∣x=x0=y0′\begin{cases} y'' = f(x, y, y') \\ y|_{x=x_0} = y_0, \; y'|_{x=x_0} = y_0' \end{cases}

的几何意义，是求微分方程的通过点 (x0,y0)(x_0, y_0) 且在该点处的切线斜率为 y0′y_0' 的那条积分曲线。