简答题

计算极限 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x - \sin x}{\tan^2 x}$

答案解析

答案：$0$

考点解析：

1. 洛必达法则 ： 处理 $\frac{0}{0}$ 型未定式极限。
2. 等价无穷小替换 ： 在乘除法中替换等价无穷小量。

解题思路：

洛必达法则

1. 第一次应用（$\frac{0}{0}$ 型）：

   $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{2 \tan x \sec^2 x}$$

2. 第二次应用（仍为 $\frac{0}{0}$ 型）：

   • 分子导数：$\sin x$。
   • 分母导数：$2(\sec^4 x + 2 \tan^2 x \sec^2 x)$。
   • 当 $x \to 0$ 时，$\sec x \to 1$，$\tan x \to 0$，分母趋近于 $2$。
   $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2 \cdot 1} = 0$$

等价无穷小替换

1. 替换分子和分母：

   $x - \sin x \sim \frac{x^3}{6}$，$\tan^2 x \sim x^2$。

   $$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{6}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{6} = 0$$

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求曲线 $\begin{cases} x = 2e^t \\ y = e^{-t} \end{cases}$ 在 $t = 0$ 处切线方程与法线方程

答案解析

答案：

• 切线方程：$y = -\dfrac{1}{2}x + 2$
• 法线方程：$y = 2x - 3$

考点解析：

1. 参数方程求导 ： 通过参数方程计算 $\dfrac{dy}{dx}$；
2. 切线方程与法线方程 ： 利用点斜式方程结合导数求切线斜率和法线斜率。

解题思路：

1. 求导数

   参数方程为：

   $$\begin{cases} x = 2e^t \\ y = e^{-t} \end{cases}$$
   • $\dfrac{dx}{dt} = 2e^t$，当 $t = 0$ 时，$\dfrac{dx}{dt} \bigg|_{t=0} = 2$；
   • $\dfrac{dy}{dt} = -e^{-t}$，当 $t = 0$ 时，$\dfrac{dy}{dt} \bigg|_{t=0} = -1$；

   因此，切线斜率为：

   $$k_{\text{切}} = \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} = \dfrac{-1}{2} = -\dfrac{1}{2}$$

2. 确定切点

   当 $t = 0$ 时：

   $$x = 2e^0 = 2, \quad y = e^{-0} = 1$$

   故切点为 $(2, 1)$。

3. 求切线方程

   用点斜式 $y - y_0 = k_{\text{切}}(x - x_0)$：

   $$y - 1 = -\dfrac{1}{2}(x - 2)$$

   整理得：

   $$y = -\dfrac{1}{2}x + 2$$

4. 求法线方程

   法线斜率为 $k_{\text{法}} = -\dfrac{1}{k_{\text{切}}} = 2$，用点斜式：

   $$y - 1 = 2(x - 2)$$

   整理得：

   $$y = 2x - 3$$

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求 $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} x \sin x \mathrm{d} x$

答案解析

答案：$\dfrac{\sqrt{2}}{8}(4 - \pi)$

考点解析：

1. 定积分的分部积分法
2. 三角函数的积分与求值 ： 涉及 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的积分及特殊角的值计算。

解题思路：

步骤 1：应用分部积分法

被积函数为 $x \sin x$，属于多项式与三角函数的乘积，适用分部积分法。

1. 分配 $u$ 和 $\mathrm{d}v$：设 $u = x$， $\mathrm{d}v = \sin x \mathrm{d}x$，则 $\mathrm{d}u = \mathrm{d}x$，$v = -\cos x$ 。
2. 应用分部积分公式：$\int u \mathrm{d}v = uv - \int v \mathrm{d}u$，代入后化简。
3. $$\int x \sin x \mathrm{d}x = -x \cos x + \int \cos x \mathrm{d}x$$

步骤 2：计算剩余积分

$$\int \cos x \mathrm{d}x = \sin x + C$$

步骤 3：写出不定积分结果

$$\int x \sin x \mathrm{d}x = -x \cos x + \sin x + C$$

步骤 4：代入定积分上下限

$$\begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}{4}} x \sin x \mathrm{d}x &= \left[ -x \cos x + \sin x \right]_0^{\frac{\pi}{4}} \\ &= \left( -\frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4} \right) - \left( -0 \cdot \cos 0 + \sin 0 \right) \end{aligned}$$

步骤 5：代入三角函数值

代入上下限 $0$ 和 $\dfrac{\pi}{4}$，利用三角函数特殊角的值化简结果。

• $\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
• $\sin 0 = 0$

$$\begin{aligned} \text{原式} &= \left( -\frac{\pi}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) - 0 \\ &= -\frac{\pi \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\pi \sqrt{2}}{8} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{8} \left(4 - \pi \right) \end{aligned}$$

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设 $f(x)$ 连续，且 $\displaystyle f(x) = x^3 + 3x \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$ ，求 $f(x)$

答案解析

答案：$f(x) = x^3 - \dfrac{3}{2}x$

考点解析：

1. 积分方程求解：通过引入定积分作为常数，将方程转化为代数方程。
2. 定积分的计算：利用基本积分公式计算多项式积分。
3. 代数方程求解：解一元一次方程求取未知常数。

解题思路：

1. 识别定积分常数：

   观察到方程中的积分 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d}x$ 是定值，设积分常数为 $A = \int_0^1 f(x) \mathrm{d}x$，则可将原方程简化变为：

   $$f(x) = x^3 + 3xA$$

2. 方程两边积分：

   对等式两边在 $[0,1]$ 上积分：

   $$\int_0^1 f(x) \mathrm{d}x = \int_0^1 x^3 \mathrm{d}x + 3A \int_0^1 x \mathrm{d}x$$

   左边即为 $A$，右边分别计算积分：

   • $\int_0^1 x^3 \mathrm{d}x = \left.\dfrac{x^4}{4}\right|_0^1 = \dfrac{1}{4}$
   • $\int_0^1 x \mathrm{d}x = \left.\dfrac{x^2}{2}\right|_0^1 = \dfrac{1}{2}$

   代入后方程变为：

   $$A = \dfrac{1}{4} + 3A \cdot \dfrac{1}{2}$$

3. 解方程求 $A$：

   整理方程：

   $$A - \dfrac{3A}{2} = \dfrac{1}{4} \implies -\dfrac{A}{2} = \dfrac{1}{4} \implies A = -\dfrac{1}{2}$$

4. 代回原方程：

   将 $A = -\dfrac{1}{2}$ 代入 $f(x) = x^3 + 3xA$，得：

   $$f(x) = x^3 + 3x \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = x^3 - \dfrac{3}{2}x$$

5. 验证结果：

   计算 $\int_0^1 \left(x^3 - \dfrac{3}{2}x\right) \mathrm{d}x$：

   $$\left.\dfrac{x^4}{4} - \dfrac{3}{4}x^2\right|_0^1 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{4} = -\dfrac{1}{2}$$

   结果与 $A = -\dfrac{1}{2}$ 一致，验证正确。

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求一阶微分方程 $y' - \frac{2}{x + 1} y = (x + 1)^3$ 的通解

答案解析

答案：$y = \frac{1}{2}(x + 1)^4 + C(x + 1)^2$

考点解析：

1. 一阶线性微分方程的求解方法
2. 积分因子法
3. 变量分离与积分技巧

解题思路：

1. 化为标准形式

   原方程：

   $$y' - \frac{2}{x + 1} y = (x + 1)^3$$

   改写为标准形式 $y' + P(x)y = Q(x)$：

   $$y' + \left(-\frac{2}{x + 1}\right)y = (x + 1)^3$$

   其中 $P(x) = -\frac{2}{x + 1}$，$Q(x) = (x + 1)^3$。

2. 求积分因子

   $$\mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{2}{x + 1} dx} = e^{-2 \ln|x + 1|} = (x + 1)^{-2}$$

3. 应用积分因子

   方程两边乘以 $\mu(x) = (x + 1)^{-2}$：

   $$(x + 1)^{-2} y' - \frac{2}{(x + 1)^3} y = (x + 1)$$

   左边为全导数：

   $$\frac{d}{dx} \left[ y \cdot (x + 1)^{-2} \right] = (x + 1)$$

4. 积分求解

   对两边积分：

   $$\int \frac{d}{dx} \left[ y \cdot (x + 1)^{-2} \right] dx = \int (x + 1) dx$$

   左边积分得：

   $$y \cdot (x + 1)^{-2} = \frac{1}{2}(x + 1)^2 + C$$

   两边乘以 $(x + 1)^2$，得到通解：

   $$y = \frac{1}{2}(x + 1)^4 + C(x + 1)^2$$

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求函数 $f(x, y) = -x^4 - y^4 + 4xy - 1$ 的极值

答案解析

答案：

函数 $f(x, y)$ 的极值为：

• 极大值：在点 $(1,1)$ 和 $(-1,-1)$ 处取得极大值 $1$ ；
• 鞍点：在点 $(0,0)$ 处为鞍点。

考点解析：

1. 一阶偏导数求临界点
2. 通过方向分析判断极值类型

解题思路：

1. 求一阶偏导数并找临界点

   • 对 $x$ 求偏导：

     $$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = -4x^3 + 4y$$

   • 对 $y$ 求偏导：

     $$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = -4y^3 + 4x$$

   • 联立方程 $f_x = 0$ 和 $f_y = 0$：

     $$\begin{cases} -4x^3 + 4y = 0 \\ -4y^3 + 4x = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y = x^3 \\ x = y^3 \end{cases}$$

     将 $y = x^3$ 代入 $x = y^3$ 得：

     $$x = (x^3)^3 = x^9 \implies x(x^8 - 1) = 0 \implies x = 0, \pm 1$$

     对应临界点为 $(0,0)$、$(1,1)$、$(-1,-1)$。

2. 分析各临界点附近函数行为

   • 点 $(0,0)$：

     • 沿 $y = x$：

       $$f(x,x) = -2x^4 + 4x^2 - 1 \implies \text{当 } x \to 0 \text{ 时，} f \approx -1 + 4x^2 \, (\text{值增大})$$

     • 沿 $y = 0$：

       $$f(x,0) = -x^4 - 1 \implies \text{当 } x \to 0 \text{ 时，} f \approx -1 - x^4 \, (\text{值减小})$$

       因不同方向变化趋势相反，$(0,0)$ 是 鞍点。

   • 点 $(1,1)$ 和 $(-1,-1)$：

     • 沿 $x = 1$（固定 $x$，令 $y = 1 + k$）：

       $$f(1,1+k) \approx 1 - 6k^2 \, (\text{当 } k \to 0 \text{ 时，值减小})$$

     • 沿 $y = 1$（固定 $y$，令 $x = 1 + h$）：

       $$f(1+h,1) \approx 1 - 6h^2 \, (\text{当 } h \to 0 \text{ 时，值减小})$$

     • 沿斜线 $y = x$：

       $$f(1+h,1+h) \approx 1 - 8h^2 \, (\text{值减小})$$

       所有方向上函数值均小于 $f(1,1) = 1$，故 $(1,1)$ 和 $(-1,-1)$ 是极大值点，极大值为：

       $$f(1,1) = f(-1,-1) = -1 -1 + 4 - 1 = 1$$

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计算二重积分 $\iint \limits_D y \mathrm{d} x \mathrm{d} y$ ，其中 $D$ 是由 $x = y^2, \, y = x^2$ 所围成的平面区域

答案解析

答案：$\dfrac{3}{20}$

考点解析：

1. 二重积分的计算：积分区域的确定与累次积分转换。
2. 曲线交点的求解：联立方程求区域边界。
3. 积分限的设定：根据曲线位置关系确定变量上下限。
4. 代数运算与定积分计算：积分过程中的多项式运算。

解题思路：

1. 确定积分区域：

   由 $x = y^2$（开口向右的抛物线）和 $y = x^2$（开口向上的抛物线）围成区域 $D$。
   解联立方程 $x = y^2$ 和 $y = x^2$，得交点为 $(0, 0)$ 和 $(1, 1)$。

2. 分析区域边界：

   在 $x \in [0, 1]$ 时，下方边界为 $y = x^2$，上方边界为 $y = \sqrt{x}$（即 $x = y^2$ 的反函数）。
   在 $y \in [0, 1]$ 时，左侧边界为 $x = y^2$，右侧边界为 $x = \sqrt{y}$（即 $y = x^2$ 的反函数）。

3. 选择积分顺序：

   • 先对 $y$ 后对 $x$：
     $x$ 从 $0$ 到 $1$，对应 $y$ 从 $x^2$ 到 $\sqrt{x}$。
   • 先对 $x$ 后对 $y$：
     $y$ 从 $0$ 到 $1$，对应 $x$ 从 $y^2$ 到 $\sqrt{y}$。

方法一：先对 $y$ 积分，再对 $x$ 积分

1. 设定积分限： $$\int_{0}^{1} \int_{x^2}^{\sqrt{x}} y \, dy \, dx$$
2. 计算内层积分： $$\int_{x^2}^{\sqrt{x}} y \, dy = \left[ \frac{1}{2} y^2 \right]_{x^2}^{\sqrt{x}} = \frac{1}{2} \left( (\sqrt{x})^2 - (x^2)^2 \right) = \frac{1}{2} (x - x^4)$$
3. 计算外层积分： $$\int_{0}^{1} \frac{1}{2} (x - x^4) \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{5} x^5 \right]_0^1 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) = \frac{3}{20}$$

方法二：先对 $x$ 积分，再对 $y$ 积分

1. 设定积分限： $$\int_{0}^{1} \int_{y^2}^{\sqrt{y}} y \, dx \, dy$$
2. 计算内层积分： $$\int_{y^2}^{\sqrt{y}} y \, dx = y \left( \sqrt{y} - y^2 \right) = y^{3/2} - y^3$$
3. 计算外层积分： $$\int_{0}^{1} \left( y^{3/2} - y^3 \right) \, dy = \left[ \frac{2}{5} y^{5/2} - \frac{1}{4} y^4 \right]_0^1 = \frac{2}{5} - \frac{1}{4} = \frac{3}{20}$$

在二重积分中，积分顺序的不同是否会导致结果差异，取决于被积函数和积分区域是否满足 Fubini 定理的条件。 具体分析如下：

• Fubini 定理： 当 $|f(x,y)|$ 可积时，允许交换积分顺序；否则可能失效。
• 条件收敛的陷阱： 若积分结果依赖“正负抵消”，积分顺序可能改变抵消方式，导致结果差异。

1. 一般情况下（满足 Fubini 定理条件）：

   若被积函数在积分区域上绝对可积（即 $\iint_D |f(x,y)| \, dxdy$ 存在），则无论先对 $x$ 还是 $y$ 积分，结果一致。

   例如：原题中 $\iint_D y \, dxdy$，因 $y$ 在有限区域 $D$ 上连续且非负，积分顺序不影响结果。

2. 特殊情况下（不满足 Fubini 定理条件）：

   若被积函数不绝对可积（如条件收敛的震荡函数或存在不可积奇点），积分顺序可能导致结果不同甚至发散。

   经典反例：

   $$\int_0^1 \int_0^1 \frac{x-y}{(x+y)^3} \, dxdy$$
   • 若先对 $x$ 积分，结果为 $\frac{1}{2}$；
   • 若先对 $y$ 积分，结果为 $-\frac{1}{2}$。

   差异源于被积函数在 $(0,0)$ 附近震荡且积分非绝对收敛。

• 初等问题无需担心：考试中二重积分通常为多项式、指数等绝对可积函数，积分顺序自由选择。
• 警惕特殊函数：处理震荡或含奇点函数时，需验证绝对可积性。