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填空题

设函数 f(x)={(1+x)2x,x0k,x=0f(x) = \begin{cases} (1 + x)^{\frac{2}{x}}, & x \neq 0 \\ k, & x = 0 \end{cases}x=0x = 0 处连续,则参数 k=k = ____ 。

答案解析

答案:e2e^2

考点解析:

  1. 函数连续性 : 函数在某点连续的条件是极限值等于函数值。
  2. 两个重要极限 : 利用 limx0(1+x)1x=e\lim \limits_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e
  3. 极限的指数运算:通过变形将问题转化为已知极限的形式。

解题思路:

  1. 分析极限形式

    x0x \to 0 时,表达式 (1+x)2x(1+x)^{\frac{2}{x}} 可以写为:

    limx0(1+x)2x=limx0[(1+x)1x]2\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{2}{x}} = \lim_{x \to 0} \left[(1+x)^{\frac{1}{x}}\right]^2
  2. 应用已知极限

    已知 limx0(1+x)1x=e\lim \limits_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e,因此:

    limx0[(1+x)1x]2=e2\lim_{x \to 0} \left[(1+x)^{\frac{1}{x}}\right]^2 = e^2
  3. 验证极限的左右一致性

    • x0+x \to 0^+ 时,2x+\frac{2}{x} \to +\infty(1+x)2xe2(1+x)^{\frac{2}{x}} \to e^2

    • x0x \to 0^- 时,令 x=h(h0+)x = -h \, (h \to 0^+) ,则:

      (1h)2h=[(1h)1h]2e2(1-h)^{-\frac{2}{h}} = \left[(1-h)^{-\frac{1}{h}}\right]^2 \to e^2

    左右极限均为 e2e^2 ,故原极限存在且为 e2e^2

  4. 确定参数 kk

    根据连续性定义, k=limx0f(x)=e2k = \lim \limits_{x \to 0} f(x) = e^2


不定积分 dxx(1+x)=\int \frac{dx}{\sqrt{x} (1 + x)} = ____ 。

答案解析

答案:2arctanx+C2 \arctan{\sqrt{x}} + C

考点解析:

  1. 换元积分法 : 通过变量替换简化被积表达式。

  2. 基本积分公式 : 利用 11+t2dt=arctant+C\int \frac{1}{1 + t^2} \mathrm{d} t = \arctan{t} + C

  3. 代数运算:通过约分简化积分表达式。

解题思路:

  1. 设变量替换

    t=xt = \sqrt{x},则 x=t2x = t^2,且 dx=2tdt\mathrm{d} x = 2t \, \mathrm{d} t

  2. 代入并化简
    原积分变为:

    1x(1+x)dx=1t(1+t2)2tdt\int \frac{1}{\sqrt{x} (1 + x)} \mathrm{d} x = \int \frac{1}{t (1 + t^2)} \cdot 2t \, \mathrm{d} t

    约去 tt 后得到:

    21+t2dt\int \frac{2}{1 + t^2} dt
  3. 积分运算
    根据基本积分公式:

    21+t2dt=2arctant+C\int \frac{2}{1 + t^2} dt = 2 \arctan{t} + C
  4. 回代变量
    t=xt = \sqrt{x} 代入,结果为:

    2arctanx+C2 \arctan{\sqrt{x}} + C
  5. 验证
    对结果求导验证:

    ddx(2arctanx)=211+x12x=1x(1+x)\frac{d}{dx} \left( 2 \arctan{\sqrt{x}} \right) = 2 \cdot \frac{1}{1 + x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x} (1 + x)}

    与原被积函数一致,说明结果正确。


曲线 y=x33x2+1y = x^3 - 3x^2 + 1 的拐点是 ____ 。

答案解析

答案:(1,1)(1, -1)

考点解析:

  1. 二阶导数判断凹凸性
  2. 拐点的定义及求解步骤

解题思路:

要确定曲线 y=x33x2+1y = x^3 - 3x^2 + 1 的拐点,需验证二阶导数的零点及其两侧凹凸性变化。

  1. 求一阶导数y=3x26xy' = 3x^2 - 6x
  2. 求二阶导数y=6x6y'' = 6x - 6
  3. 解方程 y=0y'' = 06x6=0x=16x - 6 = 0 \Rightarrow x = 1
  4. 验证凹凸性变化
    • x<1x < 1 时(如 x=0x=0),y=6<0y'' = -6 < 0,曲线凹向下。
    • x>1x > 1 时(如 x=2x=2),y=6>0y'' = 6 > 0,曲线凹向上。
  5. 计算对应 yy:代入原函数,y=133(1)2+1=1y = 1^3 - 3(1)^2 + 1 = -1

函数 1x(21t)dt(x>0)\int_{1}^{x} \left(2 - \frac{1}{\sqrt{t}}\right) \mathrm{d} t \, (x > 0) 的单调减区间为 ____ 。

答案解析

答案:(0,14)(0, \frac{1}{4})

考点解析:

  1. 变上限积分的导数:根据微积分基本定理,ddxaxf(t)dt=f(x)\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)
  2. 导数的符号与单调性:若导数为负,函数在该区间单调递减。
  3. 不等式求解:解 f(x)<0f'(x) < 0 的区间。

解题思路:

  1. 求导
    根据微积分基本定理,原函数的导数为被积函数在 xx 处的值:

    f(x)=21xf'(x) = 2 - \frac{1}{\sqrt{x}}
  2. 解不等式

    要求 f(x)<0f'(x) < 0,即:

    21x<0    1x>2    x<12    x<142 - \frac{1}{\sqrt{x}} < 0 \implies \frac{1}{\sqrt{x}} > 2 \implies \sqrt{x} < \frac{1}{2} \implies x < \frac{1}{4}

    由于 x>0x > 0,解集为 0<x<140 < x < \frac{1}{4}

  3. 验证端点

    • x=14x = \frac{1}{4} 时,f(x)=211/4=0f'(x) = 2 - \frac{1}{\sqrt{1/4}} = 0,此处导数为零,函数达到极小值点。
    • x>14x > \frac{1}{4} 时,f(x)>0f'(x) > 0,函数递增; 当 x<14x < \frac{1}{4} 时,f(x)<0f'(x) < 0,函数递减。

    因此,单调减区间不包含 x=14x = \frac{1}{4}


函数 z=ln(x3+y3)z = \ln(x^3 + y^3) 在点 (1,1)(1,1) 处的全微分 dz(1,1)=\mathrm{d} z \big|_{(1,1)} = ____ 。

答案解析

答案:32(dx+dy)\dfrac{3}{2}(\mathrm{d} x + \mathrm{d} y)

考点解析:

  1. 全微分的定义dz=zxdx+zydy\mathrm{d} z = \frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{d}x + \frac{\partial z}{\partial y} \mathrm{d}y
  2. 链式法则 : 复合函数求导时外层函数导数乘以内层函数导数。
  3. 偏导数的计算 : 对多变量函数分别对每个变量求导。

解题思路:

  1. 求偏导数 zx\frac{\partial z}{\partial x}

    zx=1x3+y33x2=3x2x3+y3\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x^3 + y^3} \cdot 3x^2 = \frac{3x^2}{x^3 + y^3}
  2. 求偏导数 zy\frac{\partial z}{\partial y}

    zy=1x3+y33y2=3y2x3+y3\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x^3 + y^3} \cdot 3y^2 = \frac{3y^2}{x^3 + y^3}
  3. 代入点 (1,1)(1,1)

    • 计算分母:x3+y3=13+13=2x^3 + y^3 = 1^3 + 1^3 = 2
    • 计算分子: zx(1,1)=3122=32,zy(1,1)=3122=32\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)} = \frac{3 \cdot 1^2}{2} = \frac{3}{2}, \quad \frac{\partial z}{\partial y}\bigg|_{(1,1)} = \frac{3 \cdot 1^2}{2} = \frac{3}{2}
  4. 写出全微分

    dz(1,1)=32dx+32dy=32(dx+dy)\mathrm{d} z \big|_{(1,1)} = \frac{3}{2} \mathrm{d} x + \frac{3}{2} \mathrm{d} y = \frac{3}{2} (\mathrm{d} x + \mathrm{d} y)