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函数的求导法则

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函数的和、差、积、商的求导法则​

定理 1 如果函数 u=u(x)u = u(x) 及 v=v(x)v = v(x) 都在点 xx 具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点 xx 具有导数，且

  1. [u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x)[u(x) \pm v(x)]' = u'(x) \pm v'(x)
  2. [u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)[u(x) v(x)]' = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)
  3. [u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v2(x)(v(x)≠0)\left[ \frac{u(x)}{v(x)} \right]' = \frac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x)}{v^2(x)} \quad (v(x) \neq 0)

反函数的求导法则​

定理 2 如果函数 x=f(y)x = f(y) 在区间 IyI_y 内单调、可导且 f′(y)≠0f'(y) \not = 0，那么它的反函数 y=f−1(x)y = f^{-1}(x) 在区间 Ix=x∣x=f(y),y∈IyI_x = {x | x = f(y), y \in I_y} 内也可导，且：

[f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy[f^{-1}(x)]' = \frac{1}{f'(y)} \quad \text{或} \quad \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y}}

复合函数求导法则（链式法则）​

定理 3

如果 u=g(x)u = g(x) 在点 xx 可导，而 y=f(u)y = f(u) 在点 u=g(x)u = g(x) 可导，那么复合函数 y=f[g(x)]y = f[g(x)] 在点 xx 可导，且其导数为：

dydx=f′(u)⋅g′(x)或dydx=dydu⋅dudx\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f'(u) · g'(x) \quad \text{或} \quad \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} u} · \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}

基本求导法则与导数公式​

常数和基本初等函数的导数公式​

  1. (C)′=0(C)' = 0
  2. (xμ)′=μxμ−1(x^\mu)' = \mu x^{\mu - 1}
  3. (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x
  4. (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin x
  5. (tan⁡x)′=sec⁡2x(\tan x)' = \sec^2 x
  6. (cot⁡x)′=−csc⁡2x(\cot x)' = -\csc^2 x
  7. (sec⁡x)′=sec⁡xtan⁡x(\sec x)' = \sec x\tan x
  8. (csc⁡x)′=−csc⁡xcot⁡x(\csc x)' = -\csc x\cot x
  9. (ax)′=axln⁡a(a>0,a≠1)(a^x)' = a^x \ln a (a > 0, a \not = 1)
  10. (ex)′=ex(e^x)' = e^x
  11. (log⁡ax)′=1xln⁡a(a>0,a≠1)(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} (a > 0, a \not = 1)
  12. (ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \frac{1}{x}
  13. (arcsin⁡x)′=11−x2(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
  14. (arccos⁡x)′=−11−x2(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
  15. (arctan⁡x)′=11+x2(\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}
  16. (arccotx)′=−11+x2(\text{arccot} x)' = -\frac{1}{1 + x^2}

函数的和、差、积、商的求导法则​

设 u=u(x),v=(x)u = u(x), v = (x) 都可导，则：

  1. (u±v)′=u′±v′(u \pm v)' = u' \pm v'
  2. (Cu)′=Cu′(Cu)' = Cu' （CC 是常数）
  3. (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'
  4. (uv)′=u′v−uv′v2(\frac{u}{v})' = \frac{u'v -uv'}{v^2} （v≠0v \not = 0）

次方根函数求导​

次方根函数的一般形式为：

y=f(x)ny = \sqrt[n]{f(x)}

其中：

  • nn 是次方根的阶数（正整数），如平方根 (n=2n = 2)、立方根 (n=3n = 3) 等。
  • f(x)f(x) 是关于变量 xx 的函数。

目标是对 yy 关于 xx 求导，即找到 y′=dydxy' = \frac{dy}{dx}。

将次方根转换为幂指数形式​

为了方便求导，可以利用 指数函数 的性质，将次方根函数转换为幂的形式：

y=[f(x)]1ny = \left[ f(x) \right]^{\frac{1}{n}}

这样一来，就可以使用幂函数的求导公式和链式法则。

平方根导数​

函数：

y=f(x)=[f(x)]12y = \sqrt{f(x)} = [f(x)]^{\frac{1}{2}}

导数：

y′=12[f(x)]−12⋅f′(x)=f′(x)2f(x)y' = \frac{1}{2}[f(x)]^{-\frac{1}{2}} \cdot f'(x) = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}

立方根导数​

函数：

y=f(x)3=[f(x)]13y = \sqrt[3]{f(x)} = [f(x)]^{\frac{1}{3}}

导数：

y′=13[f(x)]−23⋅f′(x)=f′(x)3[f(x)]23y' = \frac{1}{3}[f(x)]^{-\frac{2}{3}} \cdot f'(x) = \frac{f'(x)}{3[f(x)]^{\frac{2}{3}}}

次方根导数的通用形式​

y=[f(x)]1n  ⟹  y′=1n[f(x)]1n−1⋅f′(x)=f′(x)n[f(x)]n−1ny = [f(x)]^{\frac{1}{n}} \implies y' = \frac{1}{n}[f(x)]^{\frac{1}{n} - 1} \cdot f'(x) = \frac{f'(x)}{n[f(x)]^{\frac{n - 1}{n}}}