跳到主要内容

函数的微分

微分的定义​

设函数 y=f(x)y = f(x) 在某区间内有定义，x0x_0 及 x0+Δxx_0 + \Delta x 在这区间内，如果函数的增量

Δy=f(x0+Δx)−f(x0)\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)

可表示为

Δy=AΔx+o(Δx)\Delta y = A \Delta x + o(\Delta x)

其中 AA 是不依赖于 Δx\Delta x 的常数，那么称函数 y=f(x)y = f(x) 在 x0x_0 处是 可微 的，而 AΔxA \Delta x 叫做函数 y=f(x)y = f(x) 在 x0x_0 相应于自变增量 Δx\Delta x 的 微分 ，记作 dy\mathrm{d} y ，即

dy=AΔx\mathrm{d} y = A \Delta x

微分的几何意义​

// TODO:

基本初等函数的微分公式与微分运算法则​

从函数的微分的表达式

dy=f′(x)dx\mathrm{d} y = f'(x) \mathrm{d} x

可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘自变量的微分，因此，可得如下的微分公式和微分运算法则。

1. 基本初等函数的微分公式​

由基本初等函数的导数公式，可以直接写出基本初等函数的微分公式，为了便于对照，列表如下：

导数公式微分公式
(xμ)′=μxμ−1(μ 是任意常数)(x^\mu)' = \mu x^{\mu - 1} \quad (\mu \text{ 是任意常数})d(xμ)=μxμ−1dx(μ 是任意常数)\mathrm{d} (x^\mu) = \mu x^{\mu - 1} \mathrm{d} x \quad (\mu \text{ 是任意常数})
(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos xd(sin⁡x)=cos⁡xdx\mathrm{d} (\sin x) = \cos x \mathrm{d} x
(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin xd(cos⁡x)=−sin⁡xdx\mathrm{d} (\cos x) = -\sin x \mathrm{d} x
(tan⁡x)′=sec⁡2x(\tan x)' = \sec^2 xd(tan⁡x)=sec⁡2xdx\mathrm{d} (\tan x) = \sec^2 x \mathrm{d} x
(cot⁡x)′=−csc⁡2x(\cot x)' = -\csc^2 xd(cot⁡x)=−csc⁡2xdx\mathrm{d} (\cot x) = -\csc^2 x \mathrm{d} x
(sec⁡x)′=sec⁡xtan⁡x(\sec x)' = \sec x \tan xd(sec⁡x)=sec⁡xtan⁡xdx\mathrm{d} (\sec x) = \sec x \tan x \mathrm{d} x
(csc⁡x)′=−csc⁡xcot⁡x(\csc x)' = -\csc x \cot xd(csc⁡x)=−csc⁡xcot⁡xdx\mathrm{d} (\csc x) = -\csc x \cot x \mathrm{d} x
(ax)′=axln⁡a(a>0 且 a≠1)(a^x)' = a^x \ln a \quad (a > 0 \text{ 且 } a \neq 1)d(ax)=axln⁡adx(a>0 且 a≠1)\mathrm{d} (a^x) = a^x \ln a \mathrm{d} x \quad (a > 0 \text{ 且 } a \neq 1)
(ex)′=ex(e^x)' = e^xd(ex)=exdx\mathrm{d} (e^x) = e^x \mathrm{d} x
(log⁡ax)′=1xln⁡a(a>0 且 a≠1)(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} \quad (a > 0 \text{ 且 } a \neq 1)d(log⁡ax)=1xln⁡adx(a>0 且 a≠1)\mathrm{d} (\log_a x) = \frac{1}{x \ln a} \mathrm{d} x \quad (a > 0 \text{ 且 } a \neq 1)
(ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \frac{1}{x}d(ln⁡x)=1xdx\mathrm{d} (\ln x) = \frac{1}{x} \mathrm{d} x
(arcsin⁡x)′=11−x2(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}d(arcsin⁡x)=11−x2dx\mathrm{d} (\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{d} x
(arccos⁡x)′=−11−x2(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}d(arccos⁡x)=−11−x2dx\mathrm{d} (\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{d} x
(arctan⁡x)′=11+x2(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}d(arctan⁡x)=11+x2dx\mathrm{d} (\arctan x) = \frac{1}{1+x^2} \mathrm{d} x
(arccot x)′=−11+x2(\mathrm{arccot} \, x)' = -\frac{1}{1+x^2}d(arccot x)=−11+x2dx\mathrm{d} (\mathrm{arccot} \, x) = -\frac{1}{1+x^2} \mathrm{d} x

2. 函数和、差、积、商的微分法则​

由函数和、差、积、商的求导法则，可推得相应的微分法则，为了便于对照，列成下表（表中 u=u(x)u=u(x) ， v=v(x)v=v(x)都可导）。

函数和，差，积，商的求导法则函数和，差，积，商的微分法则
(u±v)′=u′±v′(u \pm v)' = u' \pm v'd(u±v)=du±dv\mathrm{d} (u \pm v) = du \pm dv
(Cu)′=Cu′(C 是常数)(Cu)' = Cu' \quad (C \text{ 是常数})d(Cu)=Cdu(C 是常数)\mathrm{d} (Cu) = Cdu \quad (C \text{ 是常数})
(uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'd(uv)=vdu+udv\mathrm{d} (uv) = vdu + udv
(uv)′=u′v−uv′v2(v≠0)\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \quad (v \neq 0)d(uv)=vdu−udvv2(v≠0)\mathrm{d} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{vdu - udv}{v^2} \quad (v \neq 0)

3. 复合函数的微分法则​

与复合函数的求导法则相对应的复合函数的微分法则可推导如下：

设 y=f(u)y = f(u) 及 u=g(x)u = g(x) 都可导，则复合函数 y=f[g(x)]y = f[g(x)] 的微分为

dy=yx′dx=f′(u)g′(x)dx\mathrm{d} y = y'_x \mathrm{d} x = f'(u) g'(x) \mathrm{d} x

由于 g′(x)dx=dug'(x) \mathrm{d} x = \mathrm{d} u，所以，复合函数 y=f[g(x)]y = f[g(x)] 的微分公式也可以写成

dy=f′(u)du或dy=yu′du\mathrm{d} y = f'(u) \mathrm{d} u \quad \text{或} \quad \mathrm{d} y = y'_u \mathrm{d} u

由此可见，无论 uu 是自变量还是中间变量，微分形式 dy=f′(u)du\mathrm{d} y = f'(u) \mathrm{d} u 保持不变。 这一性质称为 微分形式不变性 。 这性质表示，当变换自变量时，微分形式 dy=f′(u)du\mathrm{d} y = f'(u) \mathrm{d} u 并不改变。

微分在近似计算中的应用​

// TODO: