隐函数的导数
在数学分析中,隐函数的导数是指当函数不能直接表示为 y=f(x) 的形式,而是以隐式方程 F(x,y)=0 形式给出时,求导的方法。
1. 隐函数求导法
对隐函数 F(x,y)=0 两边分别对 x 求导,使用链式法则:
dxdF(x,y)=Fx+Fydxdy=0
从而可得:
dxdy=−FyFx
其中,Fx=∂x∂F,Fy=∂y∂F。
2. 示例
已知隐函数 x2+y2=1,求 dxdy。
对两边求导:
2x+2ydxdy=0
解得:
dxdy=−yx
由参数方程所确定的函数的导数
如果函数由参数方程 x=f(t),y=g(t) 给出,则 y 对 x 的导数由以下公式计算:
dxdy=dtdxdtdy=f′(t)g′(t)
设参数方程为:
x=t2+1,y=et
计算 dxdy:
dtdx=2t,dtdy=et
所以:
dxdy=2tet
相关变化率
相关变化率(related rates)是指两个变量随时间 t 的变化率之间的关系,通常用于研究一个变量如何影响另一个变量。
1. 基本步骤
- 确定变量之间的关系,建立方程。
- 对方程两边关于 t 求导,使用链式法则。
- 代入已知值,求解未知变化率。
2. 示例
已知一个球体的半径 r 以 dr/dt=2 cm/s 的速度增长,求体积 V=34πr3 的变化率 dV/dt。
对体积公式求导:
dtdV=4πr2dtdr
代入 r=3 cm 和 dr/dt=2 cm/s:
dtdV=4π(3)2(2)=72π
即体积变化率为 72π 立方厘米每秒。
切线方程与法线方程的求法
1. 基本概念
设曲线 y=f(x) 在点 P(x0,y0) 处可导,则:
- 切线方程:曲线上过点 P 且方向与曲线在该点导数方向一致的直线
- 法线方程:过点 P 且与切线垂直的直线
2. 显函数求法
情形:y=f(x) 在点 (x0,f(x0)) 处
求解步骤:
-
计算导数 f′(x),得到切线斜率 k切=f′(x0)
-
法线斜率 k法=−f′(x0)1(负倒数)
-
代入点斜式方程:
切线方程:法线方程:y−y0=f′(x0)(x−x0)y−y0=−f′(x0)1(x−x0)
示例:求曲线 y=x2 在点 (1,1) 处的切线方程和法线方程
解:
- f′(x)=2x⇒f′(1)=2
- 切线方程:y−1=2(x−1)⇒y=2x−1
- 法线方程:y−1=−21(x−1)⇒y=−21x+23
3. 隐函数求法
情形:F(x,y)=0 确定的隐函数
求解步骤:
- 对等式两边求导,解出 dxdy
- 将点 (x0,y0) 代入导数表达式,得到切线斜率 k切
- 法线斜率 k法=−k切1
- 使用点斜式方程
示例:求曲线 x2+y2=25 在点 (3,4) 处的切线方程
解:
- 隐函数求导:2x+2ydxdy=0⇒dxdy=−yx
- 代入 (3,4):dxdy(3,4)=−43
- 切线方程:y−4=−43(x−3)⇒3x+4y=25
4. 参数方程求法
情形:曲线由 {x=x(t)y=y(t) 确定
求解步骤:
- 计算导数 dtdx 和 dtdy
- 求导数之比:dxdy=dx/dtdy/dt
- 将参数值 t0 代入得到切线斜率 k切
- 建立点斜式方程
示例:求参数方程 {x=t2y=t3 在 t=1 处的切线方程
解:
- dtdx=2t, dtdy=3t2
- dxdy=2t3t2=23t
- 当 t=1 时:k切=23,对应点 (1,1)
- 切线方程:y−1=23(x−1)⇒y=23x−21
5. 特殊情况处理
- 垂直切线:当 dxdy→∞ 时,切线方程为 x=x0
- 水平切线:当 dxdy=0 时,法线方程为 x=x0
6. 核心公式总结
切线方程:法线方程:y=y0+f′(x0)(x−x0)y=y0−f′(x0)1(x−x0)
注意:求导前需验证函数在点处可导,不可导时需用极限方法处理