隐函数及由参数方程所确定的函数的导数　相关变化率

隐函数的导数

在数学分析中，隐函数的导数是指当函数不能直接表示为 $y = f(x)$ 的形式，而是以隐式方程 $F(x, y) = 0$ 形式给出时，求导的方法。

1. 隐函数求导法

对隐函数 $F(x, y) = 0$ 两边分别对 $x$ 求导，使用链式法则：

$$\frac{d}{dx} F(x, y) = F_x + F_y \frac{dy}{dx} = 0$$

从而可得：

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$$

其中，$F_x = \frac{\partial F}{\partial x}$，$F_y = \frac{\partial F}{\partial y}$。

2. 示例

已知隐函数 $x^2 + y^2 = 1$，求 $\frac{dy}{dx}$。

对两边求导：

$$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$$

解得：

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

由参数方程所确定的函数的导数

如果函数由参数方程 $x = f(t), y = g(t)$ 给出，则 $y$ 对 $x$ 的导数由以下公式计算：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{g'(t)}{f'(t)}$$

示例

设参数方程为：

$$x = t^2 + 1, \quad y = e^t$$

计算 $\frac{dy}{dx}$：

$$\frac{dx}{dt} = 2t, \quad \frac{dy}{dt} = e^t$$

所以：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{e^t}{2t}$$

相关变化率

相关变化率（related rates）是指两个变量随时间 $t$ 的变化率之间的关系，通常用于研究一个变量如何影响另一个变量。

1. 基本步骤

1. 确定变量之间的关系，建立方程。
2. 对方程两边关于 $t$ 求导，使用链式法则。
3. 代入已知值，求解未知变化率。

2. 示例

已知一个球体的半径 $r$ 以 $dr/dt = 2$ cm/s 的速度增长，求体积 $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ 的变化率 $dV/dt$。

对体积公式求导：

$$\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$$

代入 $r = 3$ cm 和 $dr/dt = 2$ cm/s：

$$\frac{dV}{dt} = 4\pi (3)^2 (2) = 72\pi$$

即体积变化率为 $72\pi$ 立方厘米每秒。