跳到主要内容

隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率

隐函数的导数

在数学分析中,隐函数的导数是指当函数不能直接表示为 y=f(x)y = f(x) 的形式,而是以隐式方程 F(x,y)=0F(x, y) = 0 形式给出时,求导的方法。

1. 隐函数求导法

对隐函数 F(x,y)=0F(x, y) = 0 两边分别对 xx 求导,使用链式法则:

ddxF(x,y)=Fx+Fydydx=0\frac{d}{dx} F(x, y) = F_x + F_y \frac{dy}{dx} = 0

从而可得:

dydx=FxFy\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}

其中,Fx=FxF_x = \frac{\partial F}{\partial x}Fy=FyF_y = \frac{\partial F}{\partial y}

2. 示例

已知隐函数 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1,求 dydx\frac{dy}{dx}

对两边求导:

2x+2ydydx=02x + 2y \frac{dy}{dx} = 0

解得:

dydx=xy\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}

由参数方程所确定的函数的导数

如果函数由参数方程 x=f(t),y=g(t)x = f(t), y = g(t) 给出,则 yyxx 的导数由以下公式计算:

dydx=dydtdxdt=g(t)f(t)\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{g'(t)}{f'(t)}

示例

设参数方程为:

x=t2+1,y=etx = t^2 + 1, \quad y = e^t

计算 dydx\frac{dy}{dx}

dxdt=2t,dydt=et\frac{dx}{dt} = 2t, \quad \frac{dy}{dt} = e^t

所以:

dydx=et2t\frac{dy}{dx} = \frac{e^t}{2t}

相关变化率

相关变化率(related rates)是指两个变量随时间 tt 的变化率之间的关系,通常用于研究一个变量如何影响另一个变量。

1. 基本步骤

  1. 确定变量之间的关系,建立方程。
  2. 对方程两边关于 tt 求导,使用链式法则。
  3. 代入已知值,求解未知变化率。

2. 示例

已知一个球体的半径 rrdr/dt=2dr/dt = 2 cm/s 的速度增长,求体积 V=43πr3V = \frac{4}{3} \pi r^3 的变化率 dV/dtdV/dt

对体积公式求导:

dVdt=4πr2drdt\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}

代入 r=3r = 3 cm 和 dr/dt=2dr/dt = 2 cm/s:

dVdt=4π(3)2(2)=72π\frac{dV}{dt} = 4\pi (3)^2 (2) = 72\pi

即体积变化率为 72π72\pi 立方厘米每秒。

切线方程与法线方程的求法

1. 基本概念

设曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 P(x0,y0)P(x_0, y_0) 处可导,则:

  • 切线方程:曲线上过点 PP 且方向与曲线在该点导数方向一致的直线
  • 法线方程:过点 PP 且与切线垂直的直线

2. 显函数求法

情形:y=f(x)y = f(x) 在点 (x0,f(x0))(x_0, f(x_0))

求解步骤

  1. 计算导数 f(x)f'(x),得到切线斜率 k=f(x0)k_{\text{切}} = f'(x_0)

  2. 法线斜率 k=1f(x0)k_{\text{法}} = -\frac{1}{f'(x_0)}(负倒数)

  3. 代入点斜式方程:

    切线方程:yy0=f(x0)(xx0)法线方程:yy0=1f(x0)(xx0)\begin{aligned} \text{切线方程:} & \quad y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \\ \text{法线方程:} & \quad y - y_0 = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0) \end{aligned}

示例:求曲线 y=x2y = x^2 在点 (1,1)(1, 1) 处的切线方程和法线方程

  1. f(x)=2xf(1)=2f'(x) = 2x \Rightarrow f'(1) = 2
  2. 切线方程:y1=2(x1)y=2x1y - 1 = 2(x - 1) \Rightarrow y = 2x - 1
  3. 法线方程:y1=12(x1)y=12x+32y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1) \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}

3. 隐函数求法

情形:F(x,y)=0F(x, y) = 0 确定的隐函数

求解步骤

  1. 对等式两边求导,解出 dydx\frac{dy}{dx}
  2. 将点 (x0,y0)(x_0, y_0) 代入导数表达式,得到切线斜率 kk_{\text{切}}
  3. 法线斜率 k=1kk_{\text{法}} = -\frac{1}{k_{\text{切}}}
  4. 使用点斜式方程

示例:求曲线 x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 在点 (3,4)(3, 4) 处的切线方程

  1. 隐函数求导:2x+2ydydx=0dydx=xy2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}
  2. 代入 (3,4)(3, 4)dydx(3,4)=34\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(3,4)} = -\frac{3}{4}
  3. 切线方程:y4=34(x3)3x+4y=25y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3) \Rightarrow 3x + 4y = 25

4. 参数方程求法

情形:曲线由 {x=x(t)y=y(t)\begin{cases}x = x(t) \\ y = y(t)\end{cases} 确定

求解步骤

  1. 计算导数 dxdt\frac{dx}{dt}dydt\frac{dy}{dt}
  2. 求导数之比:dydx=dy/dtdx/dt\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}
  3. 将参数值 t0t_0 代入得到切线斜率 kk_{\text{切}}
  4. 建立点斜式方程

示例:求参数方程 {x=t2y=t3\begin{cases}x = t^2 \\ y = t^3\end{cases}t=1t=1 处的切线方程

  1. dxdt=2t\frac{dx}{dt} = 2t, dydt=3t2\frac{dy}{dt} = 3t^2
  2. dydx=3t22t=3t2\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3t}{2}
  3. t=1t=1 时:k=32k_{\text{切}} = \frac{3}{2},对应点 (1,1)(1, 1)
  4. 切线方程:y1=32(x1)y=32x12y - 1 = \frac{3}{2}(x - 1) \Rightarrow y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}

5. 特殊情况处理

  • 垂直切线:当 dydx\frac{dy}{dx} \to \infty 时,切线方程为 x=x0x = x_0
  • 水平切线:当 dydx=0\frac{dy}{dx} = 0 时,法线方程为 x=x0x = x_0

6. 核心公式总结

切线方程:y=y0+f(x0)(xx0)法线方程:y=y01f(x0)(xx0)\begin{aligned} \text{切线方程:} & \quad y = y_0 + f'(x_0)(x - x_0) \\ \text{法线方程:} & \quad y = y_0 - \frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0) \end{aligned}

注意:求导前需验证函数在点处可导,不可导时需用极限方法处理