全微分

由偏导数的定义知道，二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一个自变量固定时，因变量相对于该自变量的变化率。 根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可得

$$f(x + \Delta x, y) - f(x, y) \approx f_x(x, y) \Delta x$$ $$f(x, y + \Delta y) - f(x, y) \approx f_y(x, y) \Delta y$$

上面两式的左端分别叫做二元函数对 $x$ 和对 $y$ 的 偏增量 ，而右端分别叫做二元函数对 $x$ 和对 $y$ 的 偏微分 。

定义

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 的某邻域内有定义，如果函数在 $(x,y)$ 的全增量

$$\Delta z = f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y)$$

可表示为

$$\tag{3-2} \Delta z = A \Delta x + B \Delta y + o(\rho)$$

其中 $A$ 和 $B$ 不依赖于 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 而仅与 $x$ 和 $y$ 有关， $\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ ，那么称函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 可微分 ， 而 $A \Delta x + B \Delta y$ 称为函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 的 全微分 ，记作 $\mathrm{d} z$，即

$$\mathrm{d} z = A \Delta x + B \Delta y$$

如果函数在区域 $D$ 内各点处都可微分，那么称该函数 在 $D$ 内可微分 。

定理 1 （必要条件）

如果函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 可微分，那么该函数在点 $(x,y)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 与 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 必定存在，且函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 的全微分为

$$\tag{3-3} \mathrm{d} z = \frac{\partial z}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial z}{\partial y} \Delta y$$

定理 2 （充分条件）

如果函数 $z=f(x,y)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ ， $\frac{\partial z}{\partial y}$ 在点 $(x,y)$ 连续，那么函数在该点可微分。

多元函数的偏导数在一点连续是指： 偏导数在该点的某个邻域内存在，于是偏导数在这个邻域内有定义，进而这个偏导函数在该点连续。