多元函数的基本概念

平面点集

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多元函数的概念

定义 1

设 $D$ 是 $\mathbf{R}^2$ 的一个非空子集，称映射 $f: D \rightarrow \mathbf{R}$ 为定义在 $D$ 上的 二元函数 ，通常记为

$$z = f(x, y), \quad (x, y) \in D$$

或

$$z = f(P), \quad P \in D$$

其中点集 $D$ 称为该函数的 定义域 ， $x$ 和 $y$ 称为 自变量 ， $z$ 称为 因变量 。

多元函数的自然定义域

关于多元函数的定义域，与一元函数相类似，我们作如下约定： 在一般地讨论用算式表达的多元函数 $u=f(x)$ 时，就以使这个算式有意义的变元 $x$ 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域。 因此，对这类函数，它的定义域不再特别标出。 例如，函数 $z = \ln(x+y)$ 的定义域为

$$\{ (x,y) \mid x+y > 0 \}$$

多元函数的极限

定义 2

设二元函数 $f(P) = f(x, y)$ 的定义域为 $D$ ， $P_0(x_0, y_0)$ 是 $D$ 的聚点。 如果存在常数 $A$，对于任意给定的正数 $\varepsilon$ ，总存在正数 $\delta$ ，使得当点 $P(x, y) \in D \cap \mathring{U} (P_0, \delta)$ 时，都有

$$|f(P) - A| = |f(x, y) - A| < \varepsilon$$

成立，那么就称常数 $A$ 为函数 $f(x, y)$ 当 $(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)$ 时的极限，记作

$$\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y) = A \quad \text{或} \quad f(x, y) \rightarrow A \quad ((x, y) \rightarrow (x_0, y_0))$$

也记作

$$\lim_{P \rightarrow P_0} f(P) = A \quad \text{或} \quad f(P) \rightarrow A \quad (P \rightarrow P_0)$$

为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做 二重极限 。

多元函数的连续性

定义 3

设二元函数 $f(P) = f(x, y)$ 的定义域为 $D$ ， $P_0(x_0, y_0)$ 为 $D$ 的聚点，且 $P_0 \in D$ 。 如果

$$\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y) = f(x_0, y_0)$$

那么称函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 连续。

定义 4

设函数 $f(x, y)$ 的定义域为 $D$，$P_0(x_0, y_0)$ 是 $D$ 的聚点。 如果函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 不连续，那么称 $P_0(x_0, y_0)$ 为函数 $f(x, y)$ 的间断点。

性质 1 （有界性与最值定理）

在有界闭区域 $D$ 上的多元连续函数，必定在 $D$ 上有界，且能取得它的最大值和最小值。

性质 1 就是说，若 $f(P)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，则必定存在常数 $M > 0$ ，使得对于一切 $P \in D$ ，有 $|f(P)| \leq M$ ； 且存在 $P_1, P_2 \in D$ ，使得

$$f(P_1) = \max \{f(P) \mid P \in D\}, \quad f(P_2) = \min \{f(P) \mid P \in D\}$$

性质 2 （介值定理）

在有界闭区域 $D$ 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值间的任何值。

*性质 3 （一致连续性定理）

在有界闭区域 $D$ 上的多元连续函数必定在 $D$ 上 一致连续 。

性质 3 就是说，若 $f(P)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，则对于任意给定的正数 $\varepsilon$ ，总存在正数 $\delta$ ，使得对于 $D$ 上的任意两点 $P_1, P_2$ ，只要当 $|P_1 P_2| < \delta$ 时，都有

$$|f(P_1) - f(P_2)| < \varepsilon$$

成立。