隐函数的求导公式

一个方程的情形

隐函数存在定理 1

设函数 $F(x, y)$ 在点 $P(x_0, y_0)$ 的某一邻域内具有连续偏导数，且 $F(x_0, y_0) = 0, F_y(x_0, y_0) \neq 0$，则方程 $F(x, y)=0$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某一邻域内恒能惟一确定一个连续且具有连续导数的函数 $y=f(x)$，它满足条件 $y_0 = f(x_0)$，并有

$$\tag{5-2} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = -\frac{F_x}{F_y}$$

隐函数存在定理 2

设函数 $F(x, y, z)$ 在点 $P(x_0, y_0, z_0)$ 的某一邻域内具有连续偏导数，且 $F(x_0, y_0, z_0) = 0, F_z(x_0, y_0, z_0) \neq 0$ ，则方程 $F(x, y, z) = 0$ 在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 $z = f(x, y)$ ，它满足条件 $z_0 = f(x_0, y_0)$，并有

$$\tag{5-4} \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$$

方程组的情形

// TODO: 不考