多元复合函数的求导法则

一元函数与多元函数复合的情形

定理 1

如果函数 $u = \varphi(t)$ 及 $v = \psi(t)$ 都在点 $t$ 可导，函数 $z = f(u, v)$ 在对应点 $(u, v)$ 具有连续偏导数，那么复合函数 $z = f[\varphi(t), \psi(t)]$ 在点 $t$ 可导，且有

$$\tag{4-1} \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} t} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}$$

多元函数与多元函数复合的情形

定理 2

如果函数 $u = \varphi(x, y)$ 及 $v = \psi(x, y)$ 都在点 $(x, y)$ 具有对 $x$ 及对 $y$ 的偏导数，函数 $z = f(u, v)$ 在对应点 $(u, v)$ 具有连续偏导数，那么复合函数 $z = f[\varphi(x, y), \psi(x, y)]$ 在点 $(x, y)$ 的两个偏导数都存在，且有

$$\tag{4-3} \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}$$ $$\tag{4-4} \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y}$$

其他情形

定理 3

如果函数 $u = \varphi(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 具有对 $x$ 及对 $y$ 的偏导数，函数 $v = \psi(y)$ 在点 $y$ 可导，函数 $z = f(u, v)$ 在对应点 $(u, v)$ 具有连续偏导数，那么复合函数 $z = f[\varphi(x, y), \psi(y)]$ 在点 $(x, y)$ 的两个偏导数都存在，且有

$$\tag{4-7} \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x}$$ $$\tag{4-8} \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y}$$