多元函数的极值及其求法

多元函数的极值及最大值与最小值

设函数 $z=f(x,y)$ 的定义域为 $D$ ， $P_0(x_0,y_0)$ 为 $D$ 的内点。若存在 $P_0$ 的某个邻域 $U(P_0) \subset D$ ，使得对于该邻域内异于 $P_0$ 的任何点 $(x,y)$ ，都有

f(x, y) < f(x_0, y_0)

则称函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 有 极大值 $(x_0,y_0)$ 点为函数 $f(x,y)$ 的 极大值点；若对于该邻域内异于 $P_0$ 的任何点 $(x,y)$ ，都有

f(x, y) > f(x_0, y_0)

则称函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 有 极小值 $(x_0, y_0)$ 点为函数 $f(x, y)$ 的 极小值点。极大值与极小值统称为极值。使得函数取得极值的点称为 极值点 。

设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 具有偏导数，且在点 $(x_0, y_0)$ 处有极值，则有

f_x(x_0,y_0) = 0, \quad f_y(x_0,y_0) = 0

设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又 $f_x(x_0, y_0) = 0, \quad f_y(x_0, y_0) = 0$ ，令

f_{xx}(x_0, y_0) = A, \quad f_{xy}(x_0, y_0) = B, \quad f_{yy}(x_0, y_0) = C

则 $f(x, y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 处是否取得极值的条件如下：

对于函数的自变量，除了限制在函数的定义域内以外，并无其他条件，所以有时候称为 无条件极值 。对自变量有附加条件的极值称为 条件极值 。

要找函数 $z=f(x, y)$ 在附加条件 $\varphi(x, y) = 0$ 下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数

L(x, y) = f(x, y) + \lambda \varphi(x, y)

函数 $L(x, y)$ 称为 拉格朗日函数 ，参数 $\lambda$ 称为 拉格朗日乘子 。

其中 $\lambda$ 为参数。求其对 $x, y$ 的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程联立起来：

\tag{8-8} \begin{cases} f_x(x, y) + \lambda \varphi_x(x, y) = 0 \\ f_y(x, y) + \lambda \varphi_y(x, y) = 0 \\ \varphi(x, y) = 0 \end{cases}

由这方程组解出 $x, y$ 及 $\lambda$ ，这样得到的 $(x, y)$ 就是函数 $f(x, y)$ 在附加条件 $\varphi(x, y) = 0$ 下的可能极值点。

这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。例如，要求函数 $u = f(x, y, z, t)$ 在附加条件

\tag{8-9} \varphi(x, y, z, t) = 0, \quad \psi(x, y, z, t) = 0

下的极值，可以先作拉格朗日函数

L(x, y, z, t) = f(x, y, z, t) + \lambda \varphi(x, y, z, t) + \mu \psi(x, y, z, t)

其中 $\lambda, \mu$ 均为参数，求其一阶偏导数，并使之为零，然后与 (8-9) 中的两个方程联立起来求解，这样得出的 $(x, y, z, t)$ 就是函数 $f(x, y, z, t)$ 在附加条件 (8-9) 下的可能极值点。

至于如何确定所求得的点是不是极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。