偏导数

偏导数的定义及其计算法

　　在研究一元函数时，我们从研究函数的变化率引入了导数的概念。 对于多元函数同样需要讨论它的变化率。 因多元函数的自变量不止一个，因变量与自变量的关系要比一元函数复杂得多。 在这一节里，我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率。 以二元函数 $z=f(x,y)$ 为例，如果只有自变量 $x$ 变化，而自变量 $y$ 固定（即看做常量），这时它就是 $x$ 的一元函数，这函数对 $x$ 的导数，就称为二元函数 $z=f(x,y)$ 对 $x$ 的 偏导数 ，即有如下定义：

定义

　　设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某一领域内有定义，当 $y$ 固定在 $y_0$ 而 $x$ 在 $x_0$ 处有增量 $\Delta x$ 时，相应的函数有增量

$$f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)$$

如果

$$\tag{2-1} \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}$$

存在，那么称此极限为函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处对 $x$ 的偏导数，记作

$$\left. \frac{\partial z}{\partial x} \right|_{^{x=x_0}_{y=y_0}}, \qquad \left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{^{x=x_0}_{y=y_0}}, \qquad Z_x \Big|_{^{x=x_0}_{y=y_0}} \quad \text{或} \quad f_x(x_0, y_0)$$

偏导数记号 $z_x, f_x$ 也记成 $z'_x, f'_x$ ，下面高阶偏导数的记号也有类似的情形。

　　例如，极限 (2-1) 可以表示为

$$\tag{2-2} f_x(x_0, y_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$$

　　类似地， 函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处对 $y$ 的偏导数定义为

$$\tag{2-3} \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y}$$

记作

$$\left. \frac{\partial z}{\partial y} \right|_{^{x=x_0}_{y=y_0}}, \qquad \left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{^{x=x_0}_{y=y_0}}, \qquad Z_y \Big|_{^{x=x_0}_{y=y_0}} \quad \text{或} \quad f_y(x_0, y_0)$$

　　如果函数 $z=f(x,y)$ 在区域 $D$ 内每一点 $(x,y)$ 处对 $x$ 的偏导数都存在， 那么这个偏导数就是 $x,y$ 的函数，它就称为函数 $z=f(x,y)$ 对自变量 $x$ 的偏导函数，记作

$$\frac{\partial z}{\partial x}, \qquad \frac{\partial f}{\partial x} \qquad z_x \quad \text{或} \quad f_x(x, y)$$

　　类似地，可以定义函数 $z=f(x,y)$ 对自变量 $y$ 的偏导函数，记作

$$\frac{\partial z}{\partial y}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}, \qquad z_y \quad \text{或} \quad f_y(x, y)$$

　　由偏导函数的概念可知， $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处对 $x$ 的偏导数 $f_x(x_0,y_0)$ 显然就是偏导函数 $f_x(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处的函数值； $f_y(x_0, y_0)$ 就是偏导函数 $f_y(x,y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处的函数值。 就像一元函数的导函数一样，以后在不至于混滑的地方也把偏导函数简称为偏导数。

　　至于实际求 $z=f(x,y)$ 的偏导数，并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在变动，另一个自变量是看做固定的，所以仍旧是一元函数的微分法问题。 求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 时，只要把 $y$ 暂时看做常量而对 $x$ 求导数； 求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 时，只要把 $x$ 暂时看做常量而对 $y$ 求导数。

　　偏导数的概念还可推广到二元以上的函数。 例如三元函数 $u=f(x,y,z)$ 在点 $(x,y,z)$ 处对 $x$ 的偏导数定义为

$$f_x(x, y, z) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y, z) - f(x, y, z)}{\Delta x},$$

其中 $(x, y, z)$ 是函数 $u = f(x, y, z)$ 的定义域的内点。 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题。

高阶偏导数

　　该函数 $z=f(x,y)$ 在区域 $D$ 内具有偏导数

$$\frac{\partial z}{\partial x} = f_x(x,y), \quad \frac{\partial z}{\partial y} = f_y(x,y),$$

于是，在 $D$ 内 $f_x(x,y)$，$f_y(x,y)$ 都是 $x,y$ 的函数。 如果这两个函数的偏导数也存在，那么称它们是函数 $z=f(x,y)$ 的 二阶偏导数。 按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：

$$\begin{align*} & \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right) = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = f_{xx}(x,y) &\qquad & \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right) = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = f_{xy}(x,y) \\ & \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right) = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = f_{yx}(x,y) &\qquad & \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right) = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = f_{yy}(x,y) \end{align*}$$

其中第二、三两个偏导数称为 混合偏导数 。 同样可得三阶、四阶……以及 $n$ 阶偏导数。 二阶及二阶以上的偏导数统称为 高阶偏导数 。

定理

　　如果函数 $z=f(x,y)$ 的两个二阶混合偏导数 $\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}$ 及 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ 在区域 $D$ 内连续， 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。

换句话说，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。 这定理的证明从略。

对于二元以上的函数，也可以类似地定义高阶偏导数，而且高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求导的次序无关。