- 如果 limαβ=0 ,那么就说 β 是比 α 高阶的无穷小 ,记作 β=o(α) ;
- 如果 limαβ=∞ ,那么就说 β 是比 α 低阶的无穷小 ;
- 如果 limαβ=c=0 ,那么就说 β 与 α 是 同阶无穷小 ;
- 如果 limαkβ=c=0,k>0 ,那么就说 β 是关于 α 的 k 阶的无穷小;
- 如果 limαβ=1 ,那么就说 β 与 α 是 等价的无穷小 ,记作 α∼β ;
定理 1
β 与 α 是等价无穷小的充分必要条件为
β=α+o(α)
定理 2
设 α∼α~ , β∼β~ ,且 α~β~ 存在,则
limαβ=limα~β~
等价无穷小代换
等价无穷小代换是求极限时常用的一种技巧。
它基于两个函数在接近某一点时,它们的比值趋向于某个常数。
以下是使用等价无穷小代换求极限的方法详细步骤:
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识别无穷小函数:
无穷小函数是指当变量趋向于某一点(如 0 或 ∞)时,函数值趋向于 0 的函数。常见的无穷小函数包括 sinx, tanx, ln(1+x), ex−1, 1−cosx 等。
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寻找等价无穷小:
找到待求极限函数中各个无穷小函数的等价形式。例如,当 x→0 时,以下是一些常见的等价无穷小:
- sinx∼x
- tanx∼x
- arcsinx∼x
- arctanx∼x
- 1−cosx∼21x2
- ex−1∼x
- ln(1+x)∼x
- (1+x)a−1∼ax (其中 a 为常数)
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替换原函数:
使用等价无穷小替换待求极限中的无穷小函数,从而简化函数的形式。
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求极限:
计算替换后的函数极限,通常会比原函数的极限更容易计算。
例子:
求 x→0limxsinx 的极限。
步骤:
- 识别无穷小函数:sinx 和 x 都是无穷小函数。
- 寻找等价无穷小:sinx∼x 当 x→0。
- 替换原函数:xsinx∼xx=1。
- 求极限:x→0limxsinx=x→0lim1=1。