连续函数的运算与初等函数的连续性

连续函数的和、差、积、商的连续性

定理 1

设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在点 $x_0$ 连续，则它们的和（差） $f \pm g$ 、积 $f \cdot g$ 及商 $\frac{f}{g}$ （当 $g(x_0) \not = 0$ 时）都在点 $x_0$ 连续。

反函数与复合函数的连续性

定理 2

如果函数 $y=f(x)$ 在区间 $I_x$ 上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数 $x = f^{-1}(y)$ 也在对应的区间 $I_y = \{ y | y = f(x), x \in I_x \}$ 上单调增加（或单调减少）且连续。

定理 3

设函数 $y = f[g(x)]$ 由函数 $u = g(x)$ 与函数 $y = f(u)$ 复合而成， $\mathring{U}(x_0) \subset D_{f \cdot g}$ 。 若 $\lim \limits_{x \rightarrow x_0} g(x) = u_0$ ，而函数 $y = f(u)$ 在 $u = u_0$ 连续，则

$$\lim \limits_{x \rightarrow x_0} f[g(x)] = \lim \limits_{u \rightarrow u_0} f(u) = f(u_0)$$

定理 4

设函数 $y = f[g(x)]$ 是由函数 $u = g(x)$ 与函数 $y = f(u)$ 复合而成， $U(x_0) \subset D_{f \cdot g}$ 。 若函数 $u = g(x)$ 在 $x = x_0$ 连续，且 $g(x_0) = u_0$ ，而函数 $y = f(u)$ 在 $u = u_0$ 连续，则复合函数 $y = f[g(x)]$ 在 $x = x_0$ 也连续。

初等函数的连续性

一切初等函数在其定义区间内都是连续的。 所谓 定义区间 ，就是包含在定义域内的区间。