二重积分的计算法

按照二重积分的定义来计算二重积分，对少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的， 但对一般的函数和区域来说，这不是一种切实可行的方法， 本节介绍一种计算二重积分的方法，这种方法是把二重积分化为两次定积分来计算。

利用直角坐标计算二重积分

// TDOO: 同济高数下 p136

利用极坐标计算二重积分

// TDOO: 同济高数下 p142

交换二次积分的积分次序的方法

1. 理解积分区域的几何意义

二重积分的积分区域通常是某个平面区域 $D$ ，你需要清楚该区域的边界形式。例如：

• 直角区域（矩形）：通常可以直接交换积分次序。
• 一般区域：需要分析区域的上下或左右边界，确定适合的积分次序。

2. 画出积分区域

最有效的方法是画出积分区域的图像，观察其边界：

1. 确定当前的积分次序，比如：

   $$\int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) \, \mathrm{d} y \, \mathrm{d} x$$

   表示对 $y$ 先积分，其上界和下界是关于 $x$ 的函数 $g_1(x)$ 和 $g_2(x)$。

2. 画出该区域，找出是否可以用另一种积分次序描述（如以 $x$ 作为内积分变量）。

3. 确定新积分次序

如果原积分次序是 $\int_x \int_y$ ，交换次序后变成 $\int_y \int_x$ ，则需要：

• 找出在 $y$ 方向上的变化范围（最小值到最大值）。
• 对于每个固定的 $y$ ，找到对应的 $x$ 变化范围。

比如，考虑积分：

$$\int_0^1 \int_x^1 f(x,y) \, \mathrm{d} y \, \mathrm{d} x$$

• 原积分次序：对 $y$ 先积分，它从 $x$ 到 $1$ 变化；$x$ 从 0 到 1 变化。
• 交换次序：
  • $y$ 的范围是从 0 到 1。
  • 在固定的 $y$ 下，$x$ 变为从 0 到 $y$。
  • 新积分表达式： $$\int_0^1 \int_0^y f(x,y) \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y$$

4. 练习不同类型的积分区域

常见的积分区域有：

1. 矩形区域（最简单，直接交换次序）。
2. 三角形区域（两条边界函数不同，需要换次序）。
3. 由曲线或函数定义的区域（如抛物线、圆等）。
4. 非标准区域（如椭圆、极坐标等情况）。

多做练习，掌握从图形到积分次序变换的能力。

5. 极坐标变换（适用于特殊情况）

如果积分区域涉及圆形边界，考虑将二重积分换成极坐标：

$$\int\int_D f(x,y) \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \int_{r_1}^{r_2} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \cdot r \, \mathrm{d} r \, \mathrm{d} \theta$$