Fubini 定理*

Fubini 定理 是二重积分计算的核心工具之一，它明确了在何种条件下可以将二重积分转化为累次积分（即先对 $x$ 积分再对 $y$ 积分，或反之），并保证结果的一致性。 其本质是揭示了积分顺序的可交换性条件。

Fubini 定理 为二重积分计算提供了严格的理论保障，但其应用需严格验证绝对可积性。 在初等数学问题中，若被积函数为多项式、指数函数等良态函数，且积分区域有界，则积分顺序可自由选择。

1. Fubini 定理的经典形式

适用条件：

设 $f(x, y)$ 在矩形区域 $R = [a, b] \times [c, d]$ 上满足：

• 可测性：$f(x, y)$ 是 Lebesgue 可测函数。
• 绝对可积性：$\iint_R |f(x, y)| \, dxdy < +\infty$（即 $f$ 在 $R$ 上绝对可积）。

定理结论：

二重积分可分解为两种顺序的累次积分，且结果相等：

$$\iint_R f(x, y) \, dxdy = \int_{a}^{b} \left( \int_{c}^{d} f(x, y) \, dy \right) dx = \int_{c}^{d} \left( \int_{a}^{b} f(x, y) \, dx \right) dy$$

2. Tonelli 定理（Fubini 定理的补充）

适用条件：

设 $f(x, y)$ 是非负可测函数（允许积分结果为 $+\infty$）。

定理结论：

无论是否绝对可积，均可交换积分顺序：

$$\iint_R f(x, y) \, dxdy = \int_{a}^{b} \left( \int_{c}^{d} f(x, y) \, dy \right) dx = \int_{c}^{d} \left( \int_{a}^{b} f(x, y) \, dx \right) dy$$

3. 定理的核心意义

• Fubini 定理：
  强调“绝对可积性”是积分顺序可交换的充分条件。
  若 $|f(x, y)|$ 可积，则无需担心积分顺序对结果的影响。

• Tonelli 定理：
  针对非负函数，放宽了绝对可积性要求，但要求函数非负（即使积分值为无穷大）。

4. 定理的推广形式

对于更一般的区域 $D$（非矩形区域），若满足：

• 区域 $D$ 可表示为 $x$ 型区域或 $y$ 型区域（如原题中的抛物线圈定区域）。
• $f(x, y)$ 在 $D$ 上绝对可积。

则二重积分可转化为累次积分：

$$\iint_D f(x, y) \, dxdy = \int_{a}^{b} \int_{g(x)}^{h(x)} f(x, y) \, dy dx = \int_{c}^{d} \int_{p(y)}^{q(y)} f(x, y) \, dx dy$$

5. 反例：当条件不满足时

经典反例：

$$\iint_{[0,1]^2} \frac{x-y}{(x+y)^3} \, dxdy$$

• 先对 $x$ 积分：结果为 $\frac{1}{2}$；
• 先对 $y$ 积分：结果为 $-\frac{1}{2}$；
• 二重积分不存在：因为 $\iint \left| \frac{x-y}{(x+y)^3} \right| dxdy$ 发散。

原因分析： 被积函数在 $(0,0)$ 附近震荡剧烈且非绝对可积，导致积分顺序影响结果。

6. 应用步骤

在计算二重积分时，建议按以下流程操作：

1. 判断绝对可积性：
   计算 $\iint_D |f(x, y)| dxdy$ 是否收敛。
2. 选择积分顺序：
   若绝对可积（如多项式、指数函数等），按方便的顺序积分；
   若条件收敛或含奇点，需谨慎验证或避免交换顺序。
3. 计算累次积分：
   合理设定积分限（参考区域 $D$ 的边界表达式）。

7. 原题的验证

题目中 $\iint_D y \, dxdy$：

• 被积函数 $y$ 在 $D$ 上连续且非负；
• 积分区域 $D$ 是紧致有界区域；
• $\iint_D |y| dxdy = \iint_D y dxdy$ 显然有限。

因此，满足 Fubini 定理条件，积分顺序可自由选择，结果一致。