二重积分的概念与性质

二重积分的概念

定义

设 $f(x,y)$ 是有界闭区域 $D$ 上的有界函数。 将闭区域 $D$ 任意分成 $n$ 个小闭区域

$$\Delta\sigma_1, \Delta\sigma_2, \cdots, \Delta\sigma_n$$

其中 $\Delta \sigma_i$ 表示第 $i$ 个小闭区域，也表示它的面积。 在每个 $\Delta \sigma_i$ 上任取一点 $(\xi_i, \eta_i)$ ，作乘积 $f(\xi_i, \eta_i) \Delta \sigma_i \quad (i=1, 2, \cdots, n)$ ，并作和 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i) \Delta \sigma_i$ 如果当各小闭区域的直径中的最大值 $\lambda \to 0$ 时，这和的极限总存在，且与闭区域 $D$ 的分法及点 $(\xi_i, \eta_i)$ 的取法无关，那么称此极限为函数 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上的 二重积分，记作 $\iint \limits_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ 即

$$\tag{1-1} \iint \limits_D f(x,y) \mathrm{d} \sigma = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i) \Delta \sigma_i$$

其中 $f(x,y)$ 叫做 被积函数 ， $f(x,y) \mathrm{d} \sigma$ 叫做被积表达式 ， $\mathrm{d} \sigma$ 叫做 面积元素 ， $x$ 与 $y$ 叫做 积分变量 ， $D$ 叫做 积分区域 ， $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i) \Delta\sigma_i$ 叫做 积分和 。

二重积分的性质

性质 1

设 $\alpha$ 与 $\beta$ 为常数，则

$$\iint \limits_D [\alpha f(x,y) + \beta g(x,y)] \, \mathrm{d} \sigma = \alpha \iint \limits_D f(x,y) \, \mathrm{d} \sigma + \beta \iint \limits_D g(x,y) \, \mathrm{d} \sigma$$

性质 2

如果闭区域 $D$ 被有限条曲线分为有限个部分闭区域，那么在 $D$ 上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和。

例如 $D$ 分为两个闭区域 $D_1$ 与 $D_2$，则

$$\iint \limits_D f(x,y) \, \mathrm{d} \sigma = \iint \limits_{D_1} f(x,y) \, \mathrm{d} \sigma + \iint \limits_{D_2} f(x,y) \, \mathrm{d} \sigma$$

这个性质表示二重积分对积分区域具有 可加性 。

性质 3

如果在 $D$ 上，$f(x, y) = 1$ ， $\sigma$ 为 $D$ 的面积，那么

$$\sigma = \iint \limits_D 1 \cdot \, \mathrm{d} \sigma = \iint \limits_D \mathrm{d} \sigma$$

这个性质的几何意义是很明显的，因为高为 $1$ 的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积。

性质 4

如果在 $D$ 上，$f(x,y) \leq g(x,y)$，那么有

$$\iint \limits_D f(x,y) \, \mathrm{d} \sigma \leq \iint \limits_D g(x,y) \, \mathrm{d} \sigma$$

特殊地，由于

$$- |f(x,y)| \leq f(x,y) \leq |f(x,y)|$$

又有

$$\left| \iint \limits_D f(x,y) \, \mathrm{d} \sigma \right| \leq \iint \limits_D |f(x,y)| \, \mathrm{d} \sigma$$

性质 5

设 $M$ 和 $m$ 分别是 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上的最大值和最小值，$\sigma$ 是 $D$ 的面积，则有

$$m\sigma \leq \iint \limits_D f(x,y) \, \mathrm{d} \sigma \leq M \sigma$$

上述不等式是对于二重积分估值的不等式。 因为 $m \leq f(x,y) \leq M$，所以由性质 4 有

$$\iint \limits_D m \, \mathrm{d} \sigma \leq \iint \limits_D f(x,y) \, \mathrm{d} \sigma \leq \iint \limits_D M \, \mathrm{d} \sigma$$

再应用性质 1 和性质 3，便得此估值不等式。

性质 6（二重积分的中值定理）

设函数 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上连续，$\sigma$ 是 $D$ 的面积，则在 $D$ 上至少存在一点 $(\xi, \eta)$，使得

$$\iint \limits_D f(x,y) \, \mathrm{d} \sigma = f(\xi, \eta) \sigma$$