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4.1不定积分计算

一、单选题（共10题，100分）​

  1. ∫1+cos⁡2x1+cos⁡2xdx=\int \frac{1 + \cos^2 x}{1 + \cos 2x} dx =（？）

    • A. 12(tan⁡x−x)+C\frac{1}{2} (\tan x - x) + C
    • B. tan⁡x−x+C\tan x - x + C
    • C. 12(tan⁡x+x)+C\frac{1}{2} (\tan x + x) + C
    • D. tan⁡x+x+C\tan x + x + C

  2. ∫1+ln⁡xx(ln⁡x)2dx=\int \frac{1 + \ln x}{x (\ln x)^2} dx =（B）

    • A. −1ln⁡x+12ln⁡2x+c- \frac{1}{\ln x} + \frac{1}{2} \ln^2 x + c
    • B. −1ln⁡x+ln⁡∣ln⁡x∣+c- \frac{1}{\ln x} + \ln |\ln x| + c
    • C. −1ln⁡3x+12ln⁡2x+c- \frac{1}{\ln^3 x} + \frac{1}{2} \ln^2 x + c
    • D. −1ln⁡3x+ln⁡∣ln⁡x∣+c- \frac{1}{\ln^3 x} + \ln |\ln x| + c

  3. 设 ∫xf(x)dx=arctan⁡x+C\int x f(x) dx = \arctan x + C，则 ∫1f(x)dx=\int \frac{1}{f(x)} dx =（？）

    • A. −13(1−x2)3+C- \frac{1}{3} \sqrt{(1 - x^2)^3 + C}
    • B. 34(1−x2)2+C3\frac{3}{4} \sqrt[3]{(1 - x^2)^2 + C}
    • C. −34(1−x2)3+C- \frac{3}{4} \sqrt{(1 - x^2)^3} + C
    • D. 23(1−x2)23+C\frac{2}{3} \sqrt[3]{(1 - x^2)^2} + C

  4. 在开区间内 (a,b)(a, b) 内，f(x)f(x) 和 g(x)g(x) 满足 f′(x)=g′(x)f'(x) = g'(x)，则一定有（D）

    • A. f(x)=g(x)f(x) = g(x)
    • B. [∫f(x)dx]′=[∫g(x)dx]′[\int f(x) dx]' = [\int g(x) dx]'
    • C. f(x)=g(x)+1f(x) = g(x) + 1
    • D. ∫df(x)=∫dg(x)\int d f(x) = \int d g(x)

  5. ∫(1−xx)2dx=\int (\frac{1 - x}{x})^2 dx =（A）

    • A. x−1x−2ln⁡∣x∣+cx - \frac{1}{x} - 2 \ln |x| + c
    • B. −ln⁡∣x∣−1x2+c-\ln |x| - \frac{1}{x^2} + c
    • C. 12x2−2x+ln⁡∣x∣+c\frac{1}{2} x^2 - 2x + \ln |x| + c
    • D. ln⁡∣x∣−x+c\ln |x| - x + c

  6. 设 I=∫ex−1ex+1I = \int \frac{e^x - 1}{e^x + 1}，则 I=I =（？）

    • A. ln⁡(ex−1)+c\ln (e^x - 1) + c
    • B. −2ln⁡(ex+1)+c-2 \ln (e^x + 1) + c
    • C. ln⁡(ex+1)+c\ln (e^x + 1) + c
    • D. 2ln⁡(ex+1)−x+c2 \ln (e^x + 1) - x + c

  7. 下列函数的原函数为 ln⁡2x+C\ln 2x + C（CC 为任意常数）的是（B）

    • A. 2x\frac{2}{x}
    • B. 1x\frac{1}{x}
    • C. 1x2\frac{1}{x^2}
    • D. 12x\frac{1}{2^x}

  8. 设 f(x)f(x) 的导函数是 sin⁡x\sin x，则 f(x)f(x) 有一个原函数是（？）

    • A. 1−cos⁡x1 - \cos x
    • B. 1+cos⁡x1 + \cos x
    • C. 1+sin⁡x1 + \sin x
    • D. 1−sin⁡x1 - \sin x

  9. 若 f′(x)f'(x) 连续，则下列等式正确的是（C）

    • A. ∫f′(x)dx=f(x)\int f'(x) dx = f(x)
    • B. ∫df(x)=f(x)\int d f(x) = f(x)
    • C. [∫f(x)dx]′=f(x)[\int f(x) dx]' = f(x)
    • D. d∫f(x)dx=f(x)d \int f(x) dx = f(x)

  10. 已知 cos⁡xx\frac{\cos x}{x} 是 f(x)f(x) 的一个原函数，则 ∫f(x)⋅cos⁡xxdx=\int f(x) · \frac{\cos x}{x} dx =（？）

    • A. 12(sin⁡xx)2+c\frac{1}{2} (\frac{\sin x}{x})^2 + c
    • B. 12(cos⁡xx)2+c\frac{1}{2} (\frac{\cos x}{x})^2 + c
    • C. sin⁡xx+c\frac{\sin x}{x} + c
    • D. cos⁡xx+c\frac{\cos x}{x} + c