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2.4 极限的应用

一. 单选题（共 10 题，100 分）​

  1. （单选题） 方程 x3−3x+1=0x^3 - 3x + 1 = 0 在 (0,x)(0, \sqrt{x}) 内的实根的个数为：（C）
  • A. 3
  • B. 0
  • C. 2
  • D. 1
  1. （单选题） 要使 f(x)=(2+x2)−2x2\Large f(x) = (2 + x^2)^{-\frac{2}{x^2}} 在 x=0x = 0 处连续，应补充定义 f(0)f(0) 的值为：（B）
  • A. e−1e^{-1}
  • B. 00
  • C. e−2e^{-2}
  • D. e−4e^{-4}
  1. （单选题） 设 f(x)=x2−1x2−3x+2\Large f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 3x + 2} ，则 f(x)f(x) 间断点的类型为：（C）
  • A. x=1,x=2x = 1, x = 2 都是第二类间断点
  • B. x=1,x=2x = 1, x = 2 都是第一类间断点
  • C. x=1x = 1 为第一类间断点， x=2x = 2 为第二类间断点
  • D. x=1x = 1 为第二类间断点， x=2x = 2 为第一类间断点
  1. （单选题） f(x)={e2x(acos⁡x+bsin⁡x)(ax+b)e−x\Large f(x) = \begin{cases} e^{2x}(a \cos x + b \sin x) \\ (ax + b)e^{-x} \end{cases} 处处连续，则有：（C）
  • A. a=0,b任意a = 0, b \text{任意}
  • B. 2a=−b2a = -b
  • C. a=ba = b
  • D. a=1ba = \frac{1}{b}
  1. （单选题） 设 f(x)={3x+2,x≤−1ln⁡x+2x+1+a,−1<x<0−2+x+b,x≥0\Large f(x) = \begin{cases} 3x + 2, & x \leq -1 \\ \frac{\ln{x + 2}}{x + 1} + a, & -1 < x < 0 \\ -2 + x + b, & x \geq 0 \\ \end{cases} ，在 R\mathbf{R} 内连续，则 a,ba, b 的值是：（B）
  • A. a=−1,b=ln⁡2a = -1, b = \ln2
  • B. a=−2,b=ln⁡2a = -2, b = \ln2
  • C. a=−1,b=−ln⁡2a = -1, b = -\ln2
  • D. a=−2,b=−ln⁡2a = -2, b = -\ln2
  1. （单选题） 从 lim⁡x→x0f(x)=1\Large \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = 1 不能推出：（A）
  • A. f(x0)=1f(x_0) = 1
  • B. lim⁡x→x0−f(x)=1\large \lim\limits_{x \rightarrow {x_0}^-}f(x) = 1
  • C. lim⁡x→x0[f(x)−1]=0\large \lim\limits_{x \rightarrow x_0}[f(x) - 1] = 0
  • D. lim⁡x→x0+f(x)=1\large \lim\limits_{x \rightarrow {x_0}^+}f(x) = 1
  1. （单选题） 当 x>0x > 0，则曲线 y=xsin⁡1x\Large y = x \sin \frac{1}{x}：（D）
  • A. 仅有垂直渐进线
  • B. 既无水平渐进线，又无垂直渐进线
  • C. 既有水平渐进线，又有垂直渐进线
  • D. 仅有水平渐进线
  1. （单选题） f(x)={x2−1x−1,x<1,2x,x≥1,\Large f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{x - 1}, & x < 1, \\ 2x, & x \geq 1, \\ \end{cases} 则 x=1x = 1 是 f(x)f(x) 的：（C）
  • A. 可去间断点
  • B. 跳跃间断点
  • C. 连续点
  • D. 无穷间断点
  1. （单选题） x=0x = 0 是 f(x)=sin⁡x⋅sin⁡1x\Large f(x) = \sin x · \sin \frac{1}{x} 的：（A）
  • A. 可去间断点
  • B. 无穷间断点
  • C. 跳跃间断点
  • D. 震荡间断点

  1. （单选题）下列说法正确的个数是：（A）

    1. f(x)f(x) 在 (a,b)(a, b) 内连续，则 f(x)f(x) 在 (a,b)(a, b) 内一定有最大值和最小值。
    2. 设 f(x)f(x) 在 [a,b][a, b] 上连续且无零点，则 f(x)f(x) 在 [a,b][a, b] 恒为正或恒为负。
    3. f(x)f(x) 在 [a,b][a, b] 上连续，则在 [a,b][a, b] 上有界。
    4. tan⁡π4=1>0,∴tan⁡x\Large \tan\frac{\pi}{4} = 1 > 0, \therefore \tan x 在 (π4,3π4)\Large (\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}) 内必有零点。
  • A. 2
  • B. 4
  • C. 3
  • D. 1