高等数学 D 复习题 2022~2023

一、填空题

1. $y = \ln (x - 2) + \sqrt{3 - x}$ 的定义域为 $(2, 3]$；

   题解

   • 首先，需要确定 $\ln (x - 2)$ 和 $\sqrt{3 - x}$ 的定义域。
   • 对于 $\ln (x - 2)$，由于对数函数的自变量必须大于零，所以 $x - 2 > 0$，解得 $x > 2$。
   • 对于 $\sqrt{3 - x}$，由于根号内的值必须大于等于零，所以 $3 - x \geq 0$，解得 $x \leq 3$。
   • 综上所述，$y = \ln (x - 2) + \sqrt{3 - x}$ 的定义域为 $2 < x \leq 3$。

2. $y = \sqrt{2 - x} + \ln (x - 1)$ 的定义域为 $(1, 2]$；

3. $y = \frac{1}{\ln (x + 1)}$ 的定义域为 $(−1, 0) \cup (0, +\infty)$；

4. $y = \arctan 3x$ 是由函数 $y = \arctan u, u = 3x$ 复合而成；

5. $y = \sqrt{\sin 2x}$ 是由函数 $y = \sqrt{u}, u = \sin v, v = 2x$ 复合而成；

6. $y = \tan 3x$ 是由函数 $y = \tan u, u = 3x$ 复合而成；

7. 函数 $y = \tan (2x - 1)$ 的复合过程为 $y = \tan u, u = 2x - 1$；

8. $\lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{x}{1 - x} =$ $\infty$

9. $\lim\limits_{x \rightarrow 3} \frac{x^2 - 9}{3 - x} =$ $-6$

   题解

   $$\begin{align*} & \lim\limits_{x \rightarrow 3} \frac{x^2 - 9}{3 - x} \\ & = \lim\limits_{x \rightarrow 3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{3 - x} & \text{将原式分子因式分解} \\ & = \lim\limits_{x \rightarrow 3} \frac{(x + 3)}{-1} & \text{分子分母同除 } x - 3 \\ & = \lim\limits_{x \rightarrow 3} -(x + 3) \\ & = -6 \\ \end{align*}$$

10. $\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2 - 1}{1 - 2x^2} =$ $-\frac{1}{2}$；

    题解

    方法一：原式首先为$\frac{\infty}{\infty}型$，则只要看分子分母中最高次幂的系数就可直接秒杀得到分子为 1 ，分母为 -2，结果为$-\frac{1}{2}$

    方法二：分子分母同时除以最高次幂计算的出结果

    $$\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2 - 1}{1 - 2x^2} = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1 - \frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2} - 2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$$

11. $y = x · \sin x$ 的微分 $dy =$ $(\sin x + x \cos x) dx$；

    一个原式的微分做题的本质就是对原式求导，要求熟悉 求导公式及求导法则

12. $y = x^2 · \sin x$ 的微分 $dy =$ $(2x \sin x + x^2 \cos x)dx$；

13. 设 $y = x \cos x$，则 $dy =$ $(\cos x - x \sin x)dx$；

14. 设 $y = \ln 2x$，则 $y'' =$ $-\frac{1}{x^2}$；

15. 设 $y = e^{2x}$，则 $y'' =$ $4e^{2x}$；

16. 曲线 $y = \ln x$ 在点 $(e, 1)$ 处的切线方程为 $x - ey = 0$；

17. 曲线 $y = x^3$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线方程为 $3x - y - 2 = 0$；

18. $\int^1_{-1} (x^2 + 2x) dx =$ $\frac{2}{3}$；

19. $\int^1_{-1} |x| dx =$ $1$；

    题解

    $$\int^1_{-1} |x| dx =\int^0_{-1} (-x) dx + \int^1_0 x dx = [-\frac{x^2}{2}]^0_{-1} + [\frac{x^2}{2}]^1_0 = 1$$

20. 若 $\int f(x) dx = e^x + \sin x + C$，则 $f(x) =$ $e^x + \cos x$；

21. 若 $f(x)$ 的一个原函数为 $x^2$，则 $f(x) =$ $2x$；

22. $\int^2_{-2} x^2 \sin 3x dx =$ $0$；

23. $\int^1_{-1} x^2 \sin x dx =$ $0$；

24. 若 $\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = 0$，且 $f(x) \not = 0$，则 $\lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{1}{f(x)} =$ $\infty$；

25. 设 $y = x \sqrt{x \sqrt{x}}$，则 $y' =$ $\frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}$；

26. 若 $f(x) = x \cos x$，则 $f'(0) =$ $1$；

    题解

    $$f'(0) = \cos(0) - 0 * \sin(0) = \cos(0) = 1$$

27. 设 $y = \sqrt{1 + x}$，则 $dy =$ $\frac{1}{2 \sqrt{1 + x}} dx$；

28. 若 $f(x)$ 的一个原函数为 $\sin x$，则 $f(x) =$ $\cos x$；

29. $\int x^2 \sqrt{x} dx =$ $\int x^{\frac{5}{2}} dx = \frac{2}{7}x^{\frac{7}{2}} + C$；

30. $\int^\pi_{-\pi} x^2 \sin x dx =$ $0$；

31. 函数 $y = x^2$ 的凹区间为 $(-\infty, +\infty)$；

32. 函数 $y = \frac{\ln(3x + 2)}{x - 1}$ 的定义域是 $(-\frac{2}{3}, 1) \cup (1, + \infty)$；

33. 函数 $y = e^{\sin \sqrt{x + 1}}$ 的复合过程是 $y = e^u, u = \sin v, v = \sqrt{w}, w = x + 1$；

34. 极限 $\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{3x^3 - 4x^2 + 2}{2x^3 + x - 1} =$ $\frac{3}{2}$；

35. $y = \ln 3x$，则 $y'' =$ $-\frac{1}{x^2}$；

36. 设函数 $y = x^2 \sin x$，则 $y'|_{x = \pi} =$ $-\pi^2$；

37. 已知 $y = e^{\sqrt{x}}$，则 $dy =$ $\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}dx$；

38. 已知 $y = x^2 \sin x$，则 $dy =$ $(2x\sin x + x^2\cos x)dx$；

39. 函数 $y = x^3 - 4x + 1$ 的单调减少区间是 $(-\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$；

40. $x \rightarrow 0$ 时，函数 $\sin x^2$ 是无穷（大、小）小；

41. 设 $\int f(x) dx = 3^x + 2 \sin x + C$ 则 $f(x) =$ $3^x\ln(3) + 2\cos(x)$；

42. $\int (x^3 + 1) dx =$ $\frac{x^4}{4} + x + C$；

43. $y = \ln(x - 1)$ 的定义域为 $(1, +\infty)$；

44. $y = \sin(3x + 2)$ 是由 $y = \sin u, u = 3x + 2$ 函数复合而成；

45. $\lim\limits_{x \rightarrow 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} =$ 4；

46. $\int^1_{-1} x^2 dx =$ $\frac{2}{3}$；

47. 设 $y = x^4$，则 $y'' =$ $12x^2$；

48. 设 $y = \arctan x$，则 $dy =$ $\frac{dx}{1+x^2}$；

49. 曲线 $y = \ln(x + 1)$ 在点 $(0, 0)$ 处的切线方程为 $x - y = 0$；

50. $\int^1_{-1} \sqrt{1 - x^2} dx =$ $\frac{\pi}{2}$；

51. $\cos x$ 是 $\sin x$ 的导函数，则 $\sin x$ 是 $\cos x$ 的一个 原函数；

52. 设 $y = x \sqrt{x}$，则 $y'(1) =$ $\frac{3}{2}$；

53. $\int^1_{-1} x^3 \cos 2x dx =$ 0；

二、选择题

1. 下列各组函数为同一函数的是（B）

   • A、$f(x) = x, g(x) = e^{\ln x}$
   • B、$f(x) = x, g(x) = e^x$
   • C、$f(x) = x, g(x) = \frac{x^2}{x}$
   • D、$f(x) = x, g(x) = \sqrt{x^2}$

2. $f(x) = x^2 · \sin x$ 是（A）

   • A、奇函数
   • B、偶函数
   • C、非奇非偶函数

3. $\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2 + x}{3x^2 + 2} =$（B）

   • A、$0$
   • B、$\frac{1}{3}$
   • C、$\infty$

4. 函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导是 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续的（C）

   • A、必要条件
   • B、充要条件
   • C、充分条件

5. 函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续是 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导的（A）

   • A、必要条件
   • B、充要条件
   • C、充分条件

6. 设 $f(x) = \ln \cos x$，则 $f'(x) =$（D）

   • A、$\frac{1}{\cos x}$
   • B、$\tan x$
   • C、$\cot x$
   • D、$-\tan x$

7. $x \rightarrow 0$ 时，$\sin 3x$ 是 $x$ 的（C）无穷小

   • A、高阶
   • B、低阶
   • C、同阶
   • D、等价

8. $y = x^2$ 的单调增加区间是（B）

   • A、$(-\infty, 0)$
   • B、$(0, +\infty)$
   • C、$(-\infty, +\infty)$
   • D、无法确定

9. $\int (\sin x - \frac{1}{2x}) dx =$（C）

   • A、$\cos x - \frac{1}{2} \ln |x| + C$
   • B、$-\cos x - \frac{1}{2} \ln x + C$
   • C、$-\cos x - \frac{1}{2} \ln |x| + C$
   • D、$\cos x - \frac{1}{2} \ln x + C$

10. 函数 $y = x^3 - 4x + 1$ 的凹区间是（C）

    • A、$(-\infty, 0)$
    • B、$R$
    • C、$(0, +\infty)$

11. 函数 $y = x^3 - 4x + 1$ 的凸区间是（A）

    • A、$(-\infty, 0)$
    • B、$R$
    • C、$(0, +\infty)$

12. $\int^1_{-1} |x| dx =$（C）

    • A、0
    • B、-1
    • C、1
    • D、2

13. 下列函数中为偶函数的是（C）

    • A、$y = \sin 2x$
    • B、$y = x \cos x$
    • C、$y = e^{x^2}$

14. $\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2x}{x} =$（C）

    • A、0
    • B、1
    • C、2

15. 函数 $y = \sqrt{4 - x^2}$ 的连续区间是（A）

    • A、$[-2, 2]$
    • B、$(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$
    • C、$(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$

16. 设 $y = \ln x$，则时 $y''(1) =$（B）

    • A、-2
    • B、-1
    • C、2

17. 函数 $f(x) = x · \sin x$ 是（B）函数

    • A、奇
    • B、偶
    • C、非奇非偶

18. 下列各组函数为同一函数的是（C）

    • A、$f(x) = x, g(x) = \sqrt{x^2}$
    • B、$f(x) = x, g(x) = \frac{x^2}{x}$
    • C、$f(x) = x, g(x) = \ln e^x$
    • D、$f(x) = x, g(x) = e^{\ln x}$

19. $f(x) = \sin x$ 是（A）

    • A、奇函数
    • B、偶函数
    • C、非奇非偶函数
    • D、无法确定

20. $\lim\limits{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x} =$（B）

    • A、1
    • B、0
    • C、不存在
    • D、无法确定

21. 设 $f(x) = \cos x$，则 $f'(x) =$（C）

    • A、$\sin x$
    • B、$\sin x + C$
    • C、$-\sin x$
    • D、$-\sin x + C$

22. $x \rightarrow 1$ 时，$x - 1$ 是 $x^2 - 1$ 的（C）无穷小

    • A、高阶
    • B、低阶
    • C、同阶
    • D、等价

23. $\int \frac{1}{x} dx =$（A）

    • A、$\ln |x| + C$
    • B、$\ln x + C$
    • C、$\ln x$
    • D、$\ln |x|$

24. $\int^1_{-1} x^3 dx =$（A）

    • A、$0$
    • B、$-1$
    • C、$1$
    • D、$2$

25. 函数 $y = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ 的图象关于（B）对称

    • A、原点
    • B、$y$ 轴
    • C、$x$ 轴
    • D、直线 $y = x$

26. 当 $x \rightarrow 0$ 时，$\sin 3x$ 是 $x$ 的（C）无穷小

    • A、高阶
    • B、低阶
    • C、同阶
    • D、等价

27. $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微是它在该点可导的（B）条件

    • A、充分
    • B、充要
    • C、无关
    • D、必要

28. 设 $f(x) = \cos 2x$，则 $f''(\pi) =$（D）

    • A、2
    • B、-2
    • C、4
    • D、-4

29. 曲线 $y = \sqrt{x}$ 在 $x = 1$ 点处的切线方程为（A）

    • A、$x - 2y + 1 = 0$
    • B、$2x + y - 3 = 0$
    • C、$x + 2y - 1 = 0$
    • D、$2x + y + 1 = 0$

30. $\int^1_{-1} x dx =$（A）

    • A、0
    • B、1
    • C、2

31. 下列命题正确的是（C）

    • A、驻点一定是极值点
    • B、驻点不是极值点
    • C、驻点不一定是极值点

32. 已知 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内恒有 $f'(x) < 0, f''(x) < 0$，则曲线 $f(x)$ 在此区间内是（B）

    • A、单调减少，凹的
    • B、单调减少，凸的
    • C、单调增加，凸的

参考答案

01-10: BABCA DCBCC
11-20: ACCCA BBCAB
21-30: CCAAB CBDAA
31-32: CB

其中 A 9 题；B 9 题；C 12 题；D 2 题； 遇事不决就选 C ！

三、判断题

1. 函数 $y = \ln(1)$ 一定经过点 $(2, 0)$（✔）
2. 如果 $f(x)$ 的一个原函数为 $\sin x$，则 $f(x) = \cos x$ （✔）
3. $\int \cos x dx = -\sin x + C$（❌）
4. 极限 $\lim\limits_{x \rightarrow 0}(1 + x)^\frac{1}{x} =1$（❌）
5. $x \rightarrow 1$ 时 $x^2 - 1$ 是无穷小（无穷大）（✔）
6. 所有初等函数在其定义域内都连续（❌）
7. 函数可导则不一定连续（❌）
8. 函数可微则一定可导（✔）
9. 函数 $f(x) = (2x - 1)^3$ 则 $f'(1) = 6$（✔）
10. 定积分 $\int^b_a f(x) dx$ 表示以曲线 $y = f(x)$，直线 $x = a$，$x = b$ 及 $x$ 轴所围成的曲边梯形的面积（❌）
11. 函数 $y = \ln(x - 1)$ 值大于零（❌）
12. $\int f'(x) dx = f(x)$（❌）
13. 函数 $y = f(x)$ 在某点有函数值不一定有极限（✔）
14. 极限 $\lim\limits_{x \rightarrow 0}(1 + x)^\frac{1}{x} = e$（✔）
15. $x \rightarrow 1$ 时 $\sqrt[3]{x - 1}$ 是无穷小（✔）
16. 函数可导则一定连续（✔）
17. 函数 $f(x) = (3x - 1)^3$ 则 $f'(1) = 9$（❌）
18. $d[\cos(3x + 1)] = -3 \sin (3x + 1) dx$（✔）
19. $f(x) = x$ 与 $g(x) = \sqrt{x^2}$ 为同一函数（❌）
20. 闭区间上的连续函数一定有最值（✔）
21. 曲线 $y = \sin x$ 在点 $x = 0$ 处的切线方程为 $y = x$（✔）

参考答案

• 01-10 ✔✔❌❌✔ ❌❌✔✔❌
• 11-20 ❌❌✔✔✔ ✔❌✔❌✔
• 21 ✔

其中 9 题选 ❌；12 题选 ✔；

四、计算题应用题

1. 求极限

1. $\lim\limits_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x + 1} - 1}$；

   $$\lim\limits_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x + 1} - 1} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x + 1} + 1)}{x} = \sqrt{1} + 1 = 2$$

2. $\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^2 + x - 2}{x^2 - 4x + 3}$；

   $$\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^2 + x - 2}{x^2 - 4x + 3} = \lim\limits_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 1)(x - 3)} = -\frac{3}{2}$$

3. $\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1}$；

   $$\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1} = \lim\limits_{x \to 1} (x - 2) = -1$$

4. $\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 5x + 6}$；

   $$\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 5x + 6} = \lim\limits_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 1)}{(x - 2)(x - 3)} = \lim\limits_{x \to 2} \frac{x + 1}{x - 3} = \frac{2 + 1}{2 - 3} = -3$$

5. $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^2 - x -2}{x^2 - 5x + 6}$；

   $$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^2 - x -2}{x^2 - 5x + 6} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{x} -\frac{2}{x^2}}{1 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^2}} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{1 - 0 - 0}{1 - 0 + 0} = 1$$

2.

1. $y = \arctan \sqrt{x}$，求 $y'(4)$；

   $$y' = \frac{1}{1+x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \\ y'(4) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{20}$$

2. $y = \sin \sqrt{2x - 1}$，求导数 $y'$；

   $$y' = \frac{\cos \sqrt{2x - 1}}{\sqrt{2x - 1}}$$

3. 设 $y = x^x$，求 $y'(1)$；

   设 $y = x^x$，则 $\ln y = x\ln x$，两边对 $x$ 求导，得 $\frac{y'}{y} = \ln x + 1$，所以 $y' = y(\ln x + 1)$。 当 $x = 1$ 时，$y'(1) = 1$；

4. $y = (x^2 - 2x + 3)e^x$，求导数 $y'$；

   $$y' = (2x - 2)e^x + (x^2 - 2x + 3)e^x$$

3. 求积分

1. $\int (x + \frac{1}{x})^2 dx$；

   $$\int (x + \frac{1}{x})^2 dx = \int (x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}) dx = \frac{x^3}{3} + 2x - \frac{1}{x} + C$$

2. $\int^0_{-1} (2x + 1)^10 dx$ $= \frac{1}{11}$；

   题解

   可以通过使用积分的换元法来求解这个积分问题。 首先，令 $u = 2x + 1$，则 $du = 2dx$。

   因此，原积分可以转化为：

   $\int^0_{-1} (2x + 1)^10 dx = \frac{1}{2} \int^{1}_{-1} u^{10} du$

   接下来，对 $u^{10}$ 进行积分：

   $\int u^{10} du = \frac{u^{11}}{11} + C$

   其中 $C$ 是一个常数。所以，

   $$\frac{1}{2} \int^{1}{-1} u^{10} du = \frac{1}{2} (\frac{u^{11}}{11} + C) \Big|^{1}{-1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{11} - (-\frac{1}{11})) = \frac{1}{11}$$

3. $\int^1_0 (x - 2)^2 dx$；

   $$\int^1_0 (x - 2)^2 dx = \int^1_0 (x^2 - 4x + 4) dx = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x\Big|^1_0 = \frac{7}{3}$$

4. $\int \frac{(x + 2)^2}{x} dx$ $= \frac{x^2}{2} + 4x + 4\ln$；

5. $\int^3_1 (x^2 + 1) dx$ $= \frac{32}{3}$；

   Details

   题解

   可以使用基本的积分法则来解决这个问题。 首先，可以将积分式拆分为两部分：

   $$\int^3_1 (x^2 + 1) dx = \int^3_1 x^2 dx + \int^3_1 1 dx$$

   然后，可以分别计算这两个积分。 对于第一个积分，使用幂函数的积分法则：$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$，其中 $C$ 是常数。

   将 $n = 2$ 代入，得到 $\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C$。 因此，$\int^3_1 x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]^3_1 = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$。

   对于第二个积分，使用常数函数的积分法则： $\int k dx = kx + C$，其中 $k$ 是常数。

   将 $k = 1$ 代入，得到 $\int 1 dx = x + C$。 因此，$\int^3_1 1 dx = [x]^3_1 = 3 - 1 = 2$。

   最后，将两个积分的结果相加，得到：

   $$\int^3_1 (x^2 + 1) dx = \frac{26}{3} + 2 = \frac{32}{3}$$

6. $\int^1_0 (3x^2 - x + 1) dx$；

   $$\int^1_0 (3x^2 - x + 1) dx = (x^3 - \frac{x^2}{2} + x)\Big|^1_0 = \frac{3}{2}$$

4.

1. 求由抛物线 $y = x^2$ 与 $y = 2x$ 所围成的图形的面积。

   解： 设由抛物线 $y = x^2$ 与直线 $y = 2x$ 所围成的图形的面积为 $S$，则

   $$S = \int_0^2 (2x - x^2) dx = \left[x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$$

2. 求由曲线 $y = x^3$ 与直线 $y = 4x$ 所围成平面图形的面积。

   解：

   $$2 \int^2_0 (4x - x^3) dx = 2 \left[2x^2 - \frac{x^4}{4}\right]^2_0 = 2 \left(2(2)^2 - \frac{(2)^4}{4} - 0\right) = 8$$

5.

要制造一个容积为 $16 \pi$ 的有盖圆柱体桶，问桶的半径 $r$ 和桶高 $h$ 应如何确定，才能使所用材料最省？

解？： 设圆柱体桶的半径为 $r$，高为 $h$。 则圆柱体的体积 $V = \pi r^2 h$。 由题意得 $\pi r^2 h = 16 \pi$，解得 $r^2 h = 16$。

圆柱体桶的表面积 $S = 2 \pi r h + 2 \pi r^2$，即材料用量与表面积成正比。 将 $r^2 h = 16$ 代入 $S$ 中，得 $S = 2 \pi r h + 32 \pi / r$。

对 $S$ 求导，得 $S' = 2 \pi h - 32 \pi / r^2$。 令 $S' = 0$，解得 $r = 2\sqrt{2}$。此时，$h = 16 / r^2 = 2$。

综上所述，当圆柱体桶的半径为 $2\sqrt{2}$，高为 $2$ 时，所用材料最省。

6.

欲用长 6m 的木料加工一个“日”字形的窗框，问：它的长和宽分别为多少时，才能使窗框的面积最大？ 最大面积为多少？

解？： 设窗框的长为 $x$，宽为 $y$，则窗框的周长为 $2x + 3y = 6$，解得 $y=2 - \frac{2}{3} x$。 窗框的面积为 $S = xy = x(2-\frac{2}{3} x) = 2x - \frac{2}{3} x^2$。

对面积求导得：$S' = 2 - x$。 令 $S' = 0$，解得 $x = 2$。 当 $x = 2$ 时，$y = 2 - \frac{2}{3} x = \frac{4}{3}$。

所以当窗框的长为 $2$，宽为 $\frac{4}{3}$ 时，窗框的面积最大。 最大面积为 $S = 2 \times \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$。

7.

将一块边长为 6cm 的正方形铁皮的四角各截去一个同样大小的小正方形，然后把四边折起做一个无盖铁盒，问截去小正方形的边长为多少，方能使做成的盒子容积最大？

解： 设截去小正方形的边长为 $x$，则盒子的底面边长为 $6 - 2x$，盒子的高为 $x$，盒子的体积 $V = x(6 - 2x)^2$。

对 $V$ 求导得：$\frac{dV}{dx}=12x^2-72x+36$。 令 $\frac{dV}{dx}=0$，解得 $x=1$ 或 $3$。 当 $x=1$ 时，盒子体积最大，为 $16$。

所以截去小正方形的边长为 $1$ 时，盒子容积最大。