不定积分的概念与性质

原函数与不定积分的概念

如果在区间 $I$ 上，可导函数 $F(x)$ 的导函数为 $f(x)$ ，即对任一 $x \in I$ ，都有

F'(x) = f(x) \quad \text{或} \quad dF(x) = f(x)\mathrm{d} x

那么函数 $F(x)$ 就称为 $f(x)$ （或 $f(x)\mathrm{d} x$ ）在区间 $I$ 上的一个 原函数。

如果函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，那么在区间 $I$ 上存在可导函数 $F(x)$ ，使对任一 $x \in I$ 都有

F'(x) = f(x)

简单地说就是：连续函数一定有原函数 。

在区间 $I$ 上，函数 $f(x)$ 的带有任意常数项的原函数称为 $f(x)$ （或 $f(x) \mathrm{d} x$ ）在区间 $I$ 上的 不定积分 ，记作

\int f(x)\mathrm{d} x.

其中记号 $\int$ 称为 积分号 ， $f(x)$ 称为 被积函数 ， $f(x) \mathrm{d} x$ 称为 被积表达式 ， $x$ 称为 积分变量 。

既然积分运算是微分运算的逆运算，那么很自然地可以从导数公式得到相应的积分公式。

例如，因为 $\Big( \frac{x^{\mu+1}}{\mu+1} \Big)' = x^\mu$ ，所以 $\frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}$ 是 $x^\mu$ 的一个原函数，于是

\int x^\mu \mathrm{d} x = \frac{x^{\mu+1}}{\mu+1} + C \quad (\mu \neq -1)

类似地可以得到其他积分公式。下面把一些基本的积分公式列成一个表，这个表通常叫做 基本积分表 。

$\int k \mathrm{d} x = kx + C \quad (k \text{ 是常数})$
$\int x^\mu \mathrm{d} x = \frac{x^{\mu+1}}{\mu+1} + C \quad (\mu \neq -1)$
$\int \frac{\mathrm{d} x}{x} = \ln |x| + C$
$\int \frac{\mathrm{d} x}{1+x^2} = \arctan x + C$
$\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C$
$\int \cos x \mathrm{d} x = \sin x + C$
$\int \sin x \mathrm{d} x = -\cos x + C$
$\int \frac{\mathrm{d} x}{\cos^2 x} = \int \sec^2 x \mathrm{d} x = \tan x + C$
$\int \frac{\mathrm{d} x}{\sin^2 x} = \int \csc^2 x \mathrm{d} x = -\cot x + C$
$\int \sec x \tan x \mathrm{d} x = \sec x + C$
$\int \csc x \cot x \mathrm{d} x = -\csc x + C$
$\int e^x \mathrm{d} x = e^x + C$
$\int a^x \mathrm{d} x = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a > 0 \text{ 且 } a \neq 1)$

以上十三个基本积分公式是求不定积分的基础，必须熟记。

设函数 $f(x)$ 及 $g(x)$ 的原函数存在，则

\int [f(x) + g(x)] \, \mathrm{d} x = \int f(x) \, \mathrm{d} x + \int g(x) \, \mathrm{d} x.

设函数 $f(x)$ 的原函数存在， $k$ 为非零常数，则

\int kf(x) \, \mathrm{d} x = k \int f(x) \, \mathrm{d} x.