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换元积分法

把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为 换元积分法 ，简称 换元法 。

第一类换元法​

定理 1 设 f(u)f(u) 具有原函数，u=φ(x)u = \varphi(x) 可导，则有换元公式

∫f[φ(x)]φ′(x) dx=[∫f(u) du]u=φ(x)\int f[\varphi(x)] \varphi'(x) \, \mathrm{d} x = \left[ \int f(u) \, \mathrm{d} u \right]_{u = \varphi(x)}

第二类换元法​

定理 2
设 x=ψ(t)x=\psi(t) 是单调的可导函数，并且 ψ′(t)≠0\psi'(t) \neq 0。 又设 f[ψ(t)]ψ′(t)f[\psi(t)]\psi'(t) 具有原函数，则有换元公式

∫f(x) dx=[∫f[ψ(t)]ψ′(t) dt]t=ψ−1(x)\int f(x) \, \mathrm{d} x = \left[ \int f[\psi(t)] \psi'(t) \, \mathrm{d} t \right]_{t=\psi^{-1}(x)}

其中 ψ−1(x)\psi^{-1}(x) 是 x=ψ(t)x=\psi(t) 的反函数。

双曲函数的积分公式​

  1. ∫sh x dx=ch x+C\int \mathrm{sh} \, x \, \mathrm{d} x = \mathrm{ch} \, x + C

  2. ∫ch x dx=sh x+C\int \mathrm{ch} \, x \, \mathrm{d} x = \mathrm{sh} \, x + C

常用不定积分公式​

常用的积分公式，除了 基本积分表 中的几个外，再添加下面几个（其中常数 a>0a > 0）：

  1. ∫tan⁡x dx=−ln⁡∣cos⁡x∣+C\int \tan x \, \mathrm{d} x = -\ln \left| \cos x \right| + C

  2. ∫cot⁡x dx=ln⁡∣sin⁡x∣+C\int \cot x \, \mathrm{d} x = \ln \left| \sin x \right| + C

  3. ∫sec⁡x dx=ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C\int \sec x \, \mathrm{d} x = \ln \left| \sec x + \tan x \right| + C

  4. ∫csc⁡x dx=ln⁡∣csc⁡x−cot⁡x∣+C\int \csc x \, \mathrm{d} x = \ln \left| \csc x - \cot x \right| + C

  5. ∫dxa2+x2=1aarctan⁡xa+C\int \frac{\mathrm{d} x}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C

  6. ∫dxx2−a2=12aln⁡∣x−ax+a∣+C\int \frac{\mathrm{d} x}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{x - a}{x + a} \right| + C

  7. ∫dxa2−x2=arcsin⁡xa+C\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin \frac{x}{a} + C

  8. ∫dxx2+a2=ln⁡(x+x2+a2)+C\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \ln \left( x + \sqrt{x^2 + a^2} \right) + C

  9. ∫dxx2−a2=ln⁡∣x+x2−a2∣+C\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \ln \left| x + \sqrt{x^2 - a^2} \right| + C