有理函数的积分

两个多项式的商 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 称为 有理函数 ，又称 有理分式 。 我们总假定分子多项式 $P(x)$ 与分母多项式 $Q(x)$ 之间没有公因式。 当分子多项式 $P(x)$ 的次数小于分母多项式 $Q(x)$ 的次数时，称该有理函数为 真分式 ，否则称为 假分式 。

利用多项式的除法，总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式，例如第一节例 15 中的被积函数：

$$\frac{2x^4 + x^2 + 3}{x^2 + 1} = 2x^2 - 1 + \frac{4}{x^2 + 1}$$

对于真分式 $\frac{P(x)}{Q(x)}$，如果分母可分解为两个多项式的乘积：

$$Q(x) = Q_1(x) Q_2(x),$$

且 $Q_1(x)$ 与 $Q_2(x)$ 没有公因式，那么它可分拆成两个真分式之和：

$$\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P_1(x)}{Q_1(x)} + \frac{P_2(x)}{Q_2(x)}$$

上述步骤称为把真分式化部分分式之和。 如果 $Q_1(x)$ 或 $Q_2(x)$ 还能再分解成两个没有公因式的多项式的乘积，那么就可再拆成更简单的部分分式。 最后，有理函数的积分中只出现多项式、$\frac{A}{(x-a)^k}$、$\frac{Bx+C}{x^2+px+q}$ 等三类函数 （这里 $p^2 - 4q < 0$，$P_1(x)$ 为小于 $k$ 次的多项式，$P_2(x)$ 为小于 2 次的多项式）。 多项式的积分容易求得，后两类真分式的积分可参考第三节 3 和例 27。