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定积分的换元法和分部积分法

计算定积分 ∫abf(x)dx\int_a^b f(x) \mathrm{d} x 的简便方法是把它转化为求 f(x)f(x) 的原函数的增量。 在 不定积分 中，我们知道用 换元积分法 和 分部积分法 可以求出一些函数的原函数，因此，在一定条件下，可以用换元积分法和分部积分法来计算定积分。

定积分的换元法​

定理​

设函数 f(x)f(x) 在区间 [a,b][a, b] 上连续，函数 x=φ(t)x=\varphi(t) 满足条件：

  1. φ(α)=a,φ(β)=b\varphi(\alpha) = a, \varphi(\beta) = b ；
  2. φ(t)\varphi(t) 在 [α,β][\alpha, \beta] （或 [β,α][\beta, \alpha] ）上具有连续导数，且其值域 Rφ=[a,b]R_{\varphi}=[a,b] ，

则有

∫abf(x) dx=∫αβf[φ(t)]φ′(t) dt(3-1)\tag{3-1} \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d} x = \int_{\alpha}^{\beta} f[\varphi(t)] \varphi'(t) \, \mathrm{d} t

公式（3-1）叫做定积分的 换元公式 。

定积分的分部积分法​

依据不定积分的分部积分法，若 u(x),v(x)u(x), v(x) 在 [a,b][a, b] 上具有连续导数，则

∫abu(x)v′(x) dx=[∫u(x)v′(x)dx]ab=[u(x)v(x)−∫v(x)u′(x)dx]ab=[u(x)v(x)]ab−∫abv(x)u′(x)dx\begin{align*} \int_{a}^{b} u(x) v'(x) \, \mathrm{d} x & = \left[ \int u(x) v'(x) \mathrm{d} x \right]_{a}^{b} = \left[ u(x) v(x) - \int v(x) u'(x) \mathrm{d} x \right]_{a}^{b} \\ \tag{3-2} & = [u(x) v(x)]_a^b - \int_a^b v(x) u'(x) \mathrm{d}x \end{align*}

简记作

∫abuv′ dx=[uv]ab−∫abvu′ dx\int_a^b u v' \, \mathrm{d} x = \left[ u v \right]_a^b - \int_a^b v u' \, \mathrm{d} x

或

∫abu dv=[uv]ab−∫abv du\int_a^b u \, \mathrm{d} v = \left[ u v \right]_a^b - \int_a^b v \, \mathrm{d} u

公式（3-2）叫做 定积分的分部积分公式 。 公式表明原函数已经积分出的部分可以先用上、下限代入。