函数的极限

函数极限的定义

在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中 函数的极限 。

定义 1 - 自变量趋于有限值时函数的极限

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义。 如果存在常数 $A$，对于任意给定的正数 $\varepsilon$ （不论它多么小），总存在正数 $\delta$ ，使得当 $x$ 满足不等式 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，对应的函数值 $f(x)$ 都满足不等式

$$|f(x) - A| < \varepsilon$$

那么常数 $A$ 就叫做 函数 $f(x)$ 当 $x \to x_0$ 时的极限 ，记作

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = A \quad \text{或} \quad f(x) \to A \quad (\text{当 } x \to x_0)$$

我们指出，定义中 $0 < |x - x_0|$ 表示 $x \ne x_0$ ， 所以 $x \to x_0$ 时 $f(x)$ 有没有极限，与 $f(x)$ 在点 $x_0$ 是否有定义并无关系。

定义 1 可以简单地表述为

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff \forall \varepsilon > 0, \; \exists \delta > 0, \; \text{当 } 0 < |x - x_0| < \delta \text{ 时}, \text{ 有 } |f(x) - A| < \varepsilon$$

定义 2 - 自变量趋于无穷大时函数的极限

设函数 $f(x)$ 当 $|x|$ 大于某一正数时有定义。 如果存在常数 $A$，对于任意给定的正数 $\varepsilon$（不论它多么小），总存在着正数 $X$，使得当 $x$ 满足不等式 $|x| > X$ 时，对应的函数值 $f(x)$ 都满足不等式

$$|f(x) - A| < \varepsilon$$

那么常数 $A$ 就叫做 函数 $f(x)$ 当 $x \to \infty$ 时的极限 ，记作

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = A \quad \text{ 或 } \quad f(x) \to A \quad (\text{ 当 } x \to \infty)$$

定义 2 可以简单地表述为

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = A \iff \forall \varepsilon > 0, \; \exists X > 0, \; \text{当 } |x| > X \text{ 时}, \text{ 有 } |f(x) - A| < \varepsilon$$

如果 $x > 0$ 且无限增大（记作 $x \to +\infty$），那么只要把上面定义中的 $|x| > X$ 改为 $x > X$，就可得 $\lim \limits_{x \to +\infty} f(x) = A$ 的定义。 同样，如果 $x < 0$ 且 $|x|$ 无限增大（记作 $x \to -\infty$），那么只要把 $|x| > X$ 改为 $x < -X$，便得 $\lim \limits_{x \to -\infty} f(x) = A$ 的定义。

函数极限的性质

定理 1 (函数极限的唯一性)

如果 $\lim \limits_{x \to x_0} f(x)$ 存在，那么这极限唯一。

定理 2 (函数极限的局部有界性)

如果 $\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = A$ ， 那么存在常数 $M > 0$ 和 $\delta > 0$ ， 使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，有 $|f(x)| \leq M$ 。

定理 3 (函数极限的局部保号性)

如果 $\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = A$ ，且 $A > 0$ （或 $A < 0$）， 那么存在常数 $\delta > 0$, 使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时, 有 $f(x) > 0$ （或 $f(x) < 0$ ）。

定理 3'

如果 $\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = A \; (A \neq 0)$ ，那么就存在着 $x_0$ 的某一去心邻域 $\mathring{U}(x_0)$ ，当 $x \in \mathring{U}(x_0)$ 时，就有 $|f(x)| > \frac{|A|}{2}$ 。

推论

由定理 3，易得以下推论：

如果在 $x_0$ 的某去心邻域内 $f(x) \geq 0$ （或 $f(x) \leq 0$ ）， 而且 $\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = A$ ，那么 $A \geq 0$ （或 $A \leq 0$ ）。

*定理 4 (函数极限与数列极限的关系)

如果极限 $\lim \limits_{x \to x_0} f(x)$ 存在， $\{x_n\}$ 为函数 $f(x)$ 的定义域内任一收敛于 $x_0$ 的数列， 且满足 $x_n \neq x_0 \; (n \in \mathbf{N}_+)$ ，那么相应的函数值数列 $\{f(x_n)\}$ 必收敛，且 $\lim \limits_{n \to \infty} f(x_n) = \lim \limits_{x \to x_0} f(x)$ 。

函数的左右极限

函数的左右极限是指函数在某点附近左右两侧的极限值。 具体来说：

1. 右极限：函数 $f(x)$ 在 $x = a$ 点的右极限是指当 $x$ 从右侧逼近 $a$ 时，$f(x)$ 的极限值，记作 $\lim \limits_{x \to a^+} f(x)$。 数学表达为：$\lim \limits_{x \to a^+} f(x) = L$ 其中， $L$ 是函数在该点右侧的极限值。

2. 左极限：函数 $f(x)$ 在 $x = a$ 点的左极限是指当 $x$ 从左侧逼近 $a$ 时，$f(x)$ 的极限值，记作 $\lim \limits_{x \to a^-} f(x)$。 数学表达为：$\lim \limits_{x \to a^-} f(x) = L$ 其中， $L$ 是函数在该点左侧的极限值。

函数极限存在的充分必要条件

一个函数在某点的极限存在的充分必要条件是该点 左右极限都存在且相等 。 用数学表示为：

设函数 $f(x)$ 在 $x = a$ 处的极限为 $L$ ，则满足以下条件：

1. 右极限存在，即 $\lim \limits_{x \to a^+} f(x) = L$
2. 左极限存在，即 $\lim \limits_{x \to a^-} f(x) = L$
3. 右极限与左极限相等，即 $\lim \limits_{x \to a^+} f(x) = \lim \limits_{x \to a^-} f(x) = L$

曲线渐近线

曲线的渐近线是指当曲线趋近于无穷时，曲线逐渐靠近但不相交的直线。 渐近线有水平渐近线（横向渐近线）、垂直渐近线（纵向渐近线）和斜渐近线。

水平渐近线的求法

水平渐近线通常存在于函数的图形中，并且其方程通常为 $y = k$，其中 $k$ 是常数。 对于函数 $y = f(x)$，当 $x$ 趋近于无穷大或无穷小时，如果 $y$ 趋近于某个常数 $k$，则这个常数 $k$ 所对应的直线 $y = k$ 就是水平渐近线。 求水平渐近线的方法如下：

1. 计算 $\lim \limits_{x \to +\infty} f(x)$，得到的极限值就是水平渐近线的 $y$ 坐标；
2. 计算 $\lim \limits_{x \to -\infty} f(x)$，得到的极限值也是水平渐近线的 $y$ 坐标。

如果这两个极限存在且相等，则水平渐近线就是 $y = k$。

例如，对于函数 $f(x) = \frac{1}{x}$，我们计算：

$$\lim_{{x \to +\infty}} \frac{1}{x} = 0 \quad \text{和} \quad \lim_{{x \to -\infty}} \frac{1}{x} = 0$$

因此，$y = 0$ 是 $f(x) = \frac{1}{x}$ 的水平渐近线。

垂直渐近线的求法

垂直渐近线通常存在于函数的图形中，并且其方程通常为 $x = h$，其中 $h$ 是常数。 对于函数 $y = f(x)$，如果在某个有限的 $x$ 值 $h$ 处，$f(x)$ 的值趋近于无穷大或无穷小，则 $x = h$ 就是垂直渐近线。 求垂直渐近线的方法如下：

1. 找到函数的分母为零但分子不为零的点，因为这些点可能是函数的无穷点；
2. 计算 $\lim \limits_{{x \to h^+}} f(x)$ 或 $\lim \limits_{{x \to h^-}} f(x)$，如果极限值趋于无穷大或无穷小，则 $x = h$ 就是垂直渐近线。

例如，对于函数 $g(x) = \frac{1}{x-2}$，我们找到函数的分母为零的点 $x = 2$，然后计算：

$$\lim_{{x \to 2^+}} \frac{1}{x-2} = +\infty \quad \text{和} \quad \lim_{{x \to 2^-}} \frac{1}{x-2} = -\infty$$

因此，$x = 2$ 是 $g(x) = \frac{1}{x-2}$ 的垂直渐近线。