函数的连续性与间断点

函数的连续性定义

设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一领域内有定义，如果

$$\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \Delta y = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} [f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)] = 0$$

那么就称函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 连续。

函数的间断点

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某去心邻域内有定义。在此前提下，如果函数 $f(x)$ 有下列三种情形之一：

1. 在 $x = x_0$ 没有定义；
2. 虽在 $x = x_0$ 有定义，但 $\lim \limits_{x \rightarrow x_0} f(x)$ 不存在；
3. 虽在 $x = x_0$ 有定义，且 $\lim \limits_{x \rightarrow x_0} f(x)$ 存在，但 $\lim \limits_{x \rightarrow x_0} f(x) \not = f(x_0)$ ，

那么函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 为不连续，而点 $x_0$ 称为函数 $f(x)$ 的 不连续点 或者 间断点 。