数列的极限

数列极限的定义

设 $\{x_n\}$ 为一数列，如果存在常数 $a$ ，对于任意给定的正数 $\varepsilon$ （不论它多么小），总存在正整数 $N$ ，使得当 $n > N$ 时，不等式

$$|x_n - a| < \varepsilon$$

都成立，那么就称常数 $a$ 是 数列 $\{x_n\}$ 的极限 ，或者称数列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$ ，记为

$$\lim_{{n \to \infty}} x_n = a$$

或

$$x_n \to a \quad (n \to \infty)$$

收敛数列的性质

定理 1 (极限的唯一性)

如果数列 $\{x_n\}$ 收敛，那么它的极限唯一。

定理 2 (收敛数列的有界性)

如果数列 $\{x_n\}$ 收敛，那么数列 $\{x_n\}$ 一定有界。

定理 3 (收敛数列的保号性)

如果 $\lim \limits_{n \to \infty} x_n = a$，且 $a > 0$ (或 $a < 0$)， 那么存在正整数 $N$，当 $n > N$ 时，都有 $x_n > 0$ (或 $x_n < 0$)。

推论

如果数列 $\{x_n\}$ 从某项起有 $x_n \geq 0$（或 $x_n \leq 0$），且 $\lim \limits_{n \to \infty} x_n = a$，那么 $a \geq 0$（或 $a \leq 0$）。

*定理 4 (收敛数列与其子数列间的关系)

如果数列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是 $a$ 。