无穷小与无穷大

无穷小

定义 1

如果函数 $f(x)$ 当 $x \rightarrow x_0$ (或 $x \rightarrow \infty$) 时的极限为零， 那么称函数 $f(x)$ 为当 $x \rightarrow x_0$ (或 $x \rightarrow \infty$) 时的无穷小。

特别地，以零为极限的数列 $\{x_n\}$ 称为 $n \rightarrow \infty$ 时的无穷小。

定理 1

在自变量的同一变化过程中 $x \rightarrow x_0$ (或 $x \rightarrow \infty$) 中， 函数 $f(x)$ 具有极限 $A$ 的充分必要条件是 $f(x) = A + \alpha$，其中 $\alpha$ 是无穷小。

等价无穷小代换

等价无穷小代换是求极限时常用的一种技巧。 它基于两个函数在接近某一点时，它们的比值趋向于某个常数。 以下是使用等价无穷小代换求极限的方法详细步骤：

1. 识别无穷小函数： 无穷小函数是指当变量趋向于某一点（如 $0$ 或 $\infty$）时，函数值趋向于 $0$ 的函数。常见的无穷小函数包括 $\sin x$， $\tan x$， $\ln(1+x)$， $e^x - 1$， $1 - \cos x$ 等。

2. 寻找等价无穷小： 找到待求极限函数中各个无穷小函数的等价形式。例如：

   • $\sin x \sim x$ 当 $x \to 0$
   • $\tan x \sim x$ 当 $x \to 0$
   • $\ln(1+x) \sim x$ 当 $x \to 0$
   • $e^x - 1 \sim x$ 当 $x \to 0$
   • $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$ 当 $x \to 0$

3. 替换原函数： 使用等价无穷小替换待求极限中的无穷小函数，从而简化函数的形式。

4. 求极限： 计算替换后的函数极限，通常会比原函数的极限更容易计算。

例子： 求 $\lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ 的极限。

步骤：

1. 识别无穷小函数：$\sin x$ 和 $x$ 都是无穷小函数。
2. 寻找等价无穷小：$\sin x \sim x$ 当 $x \to 0$。
3. 替换原函数：$\frac{\sin x}{x} \sim \frac{x}{x} = 1$。
4. 求极限：$\lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim \limits_{x \to 0} 1 = 1$。

无穷大

定义 2

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义 (或 $|x|$ 大于某一正数时有定义)。 如果对于任意给定的正数 $M$ (不论它多么大)，总存在正数 $\delta$ (或正数 $X$)，只要 $x$ 适合不等式 $0 < |x - x_0| < \delta$ (或 $|x| > X$)，对应的函数值 $f(x)$ 总满足不等式

$$|f(x)| > M$$

那么称函数 $f(x)$ 是当 $x \rightarrow x_0$ (或 $x \rightarrow \infty$) 时的无穷大。

定理 2

在自变量的同一变化过程中，如果 $f(x)$ 为无穷大，那么 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷小；
反之，如果 $f(x)$ 为无穷小，且 $f(x) \neq 0$，那么 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷大。

*铅直渐进线

铅直渐近线是指在某些函数中，当自变量趋近于某个特定值时，函数值趋近于无穷大或无穷小的情况。 具体来说，如果函数 $f(x)$ 在 $x = x_0$ 处的极限为无穷大或无穷小，那么 $x = x_0$ 就是该函数的铅直渐近线。

铅直渐近线的定义

若函数 $f(x)$ 在 $x = x_0$ 处的极限为无穷大或无穷小，即

$$\lim_{{x \to x_0}} f(x) = \pm \infty$$

则直线 $x = x_0$ 为函数 $f(x)$ 的铅直渐近线。

铅直渐近线的求法

1. 找出函数的定义域：确定函数在哪些点上未定义。
2. 计算极限：对于每个未定义的点 $x_0$，计算 $\lim \limits_{{x \to x_0}} f(x)$。如果极限为无穷大或无穷小，则 $x = x_0$ 是铅直渐近线。

示例

考虑函数 $f(x) = \frac{1}{x-2}$。在 $x = 2$ 处，函数未定义。 计算极限：

$$\lim_{{x \to 2}} \frac{1}{x-2} = \pm \infty$$

因此，直线 $x = 2$ 是函数 $f(x)$ 的铅直渐近线。

铅直渐近线的应用

铅直渐近线在分析函数的行为、绘制函数图像以及解决实际问题中具有重要作用。 通过确定铅直渐近线，可以更好地理解函数在特定点附近的行为。