无穷小的比较

定义

• 如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = 0$ ，那么就说 $\beta$ 是比 $\alpha$ 高阶的无穷小 ，记作 $\beta = o(\alpha)$ ；
• 如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = \infty$ ，那么就说 $\beta$ 是比 $\alpha$ 低阶的无穷小 ；
• 如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = c \not = 0$ ，那么就说 $\beta$ 与 $\alpha$ 是 同阶无穷小 ；
• 如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha^k} = c \not = 0 , k > 0$ ，那么就说 $\beta$ 是关于 $\alpha$ 的 $k$ 阶的无穷小；
• 如果 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = 1$ ，那么就说 $\beta$ 与 $\alpha$ 是 等价的无穷小 ，记作 $\alpha \thicksim \beta$ ；

定理 1

$\beta$ 与 $\alpha$ 是等价无穷小的充分必要条件为

$$\beta = \alpha + o (\alpha)$$

定理 2

设 $\alpha \sim \tilde{\alpha}$ ， $\beta \sim \tilde{\beta}$ ，且 $\frac{\tilde{\beta}}{\tilde{\alpha}}$ 存在，则

$$\lim \frac{\beta}{\alpha} = \lim \frac{\tilde{\beta}}{\tilde{\alpha}}$$