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无穷小的比较

定义​

  • 如果 lim⁡βα=0\lim \frac{\beta}{\alpha} = 0 ，那么就说 β\beta 是比 α\alpha 高阶的无穷小 ，记作 β=o(α)\beta = o(\alpha) ；
  • 如果 lim⁡βα=∞\lim \frac{\beta}{\alpha} = \infty ，那么就说 β\beta 是比 α\alpha 低阶的无穷小 ；
  • 如果 lim⁡βα=c≠0\lim \frac{\beta}{\alpha} = c \not = 0 ，那么就说 β\beta 与 α\alpha 是 同阶无穷小 ；
  • 如果 lim⁡βαk=c≠0,k>0\lim \frac{\beta}{\alpha^k} = c \not = 0 , k > 0 ，那么就说 β\beta 是关于 α\alpha 的 kk 阶的无穷小；
  • 如果 lim⁡βα=1\lim \frac{\beta}{\alpha} = 1 ，那么就说 β\beta 与 α\alpha 是 等价的无穷小 ，记作 α∼β\alpha \thicksim \beta ；

定理 1​

β\beta 与 α\alpha 是等价无穷小的充分必要条件为

β=α+o(α)\beta = \alpha + o (\alpha)

定理 2​

设 α∼α~\alpha \sim \tilde{\alpha} ， β∼β~\beta \sim \tilde{\beta} ，且 β~α~\frac{\tilde{\beta}}{\tilde{\alpha}} 存在，则

lim⁡βα=lim⁡β~α~\lim \frac{\beta}{\alpha} = \lim \frac{\tilde{\beta}}{\tilde{\alpha}}

等价无穷小代换​

等价无穷小代换是求极限时常用的一种技巧。 它基于两个函数在接近某一点时，它们的比值趋向于某个常数。 以下是使用等价无穷小代换求极限的方法详细步骤：

  1. 识别无穷小函数： 无穷小函数是指当变量趋向于某一点（如 00 或 ∞\infty）时，函数值趋向于 00 的函数。常见的无穷小函数包括 sin⁡x\sin x， tan⁡x\tan x， ln⁡(1+x)\ln(1+x)， ex−1e^x - 1， 1−cos⁡x1 - \cos x 等。

  2. 寻找等价无穷小： 找到待求极限函数中各个无穷小函数的等价形式。例如，当 x→0x \to 0 时，以下是一些常见的等价无穷小：

    • sin⁡x∼x\sin x \sim x
    • tan⁡x∼x\tan x \sim x
    • arcsin⁡x∼x\arcsin x \sim x
    • arctan⁡x∼x\arctan x \sim x
    • 1−cos⁡x∼12x21 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2
    • ex−1∼xe^x - 1 \sim x
    • ln⁡(1+x)∼x\ln(1 + x) \sim x
    • (1+x)a−1∼ax(1 + x)^a - 1 \sim a x （其中 aa 为常数）

  3. 替换原函数： 使用等价无穷小替换待求极限中的无穷小函数，从而简化函数的形式。

  4. 求极限： 计算替换后的函数极限，通常会比原函数的极限更容易计算。

例子： 求 lim⁡x→0sin⁡xx\lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} 的极限。

步骤：

  1. 识别无穷小函数：sin⁡x\sin x 和 xx 都是无穷小函数。
  2. 寻找等价无穷小：sin⁡x∼x\sin x \sim x 当 x→0x \to 0。
  3. 替换原函数：sin⁡xx∼xx=1\frac{\sin x}{x} \sim \frac{x}{x} = 1。
  4. 求极限：lim⁡x→0sin⁡xx=lim⁡x→01=1\lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim \limits_{x \to 0} 1 = 1。