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极限存在准则 两个重要极限

极限存在准则​

夹逼准则​

  1. 如果数列 {xn}\{ x_n \} ， {yn}\{ y_n \} 及 {zn}\{ z_n \} 满足下列条件：

    1. 从某项起，即 ∃n0∈N+\exists n_0 \in \mathbf{N_+} , 当 n>n0n > n_0 时，有

      yn≤xn≤zny_n \le x_n \le z_n

    2. lim⁡n→∞yn=a,lim⁡n→∞zn=a\lim \limits_{n \rightarrow \infty} y_n = a, \quad \lim \limits_{n \rightarrow \infty} z_n = a

    那么数列 {xn}\{ x_n \} 的极限存在，且 lim⁡n→∞xn=a\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_n = a 。

  2. 如果

    1. 当 x∈U˚(x0,r)x \in \mathring{U} (x_0, r)（或 ∣x∣>M|x| > M）时，

      g(x)≤f(x)≤h(x)g(x) \le f(x) \le h(x)
    2. lim⁡x→0(x→∞)g(x)=A,lim⁡x→0(x→∞)h(x)=A\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ (x \rightarrow \infty)}} g(x) = A, \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ (x \rightarrow \infty)}} h(x) = A

      那么 lim⁡x→x0(x→∞)f(x)\lim \limits_{\substack{x \rightarrow x_0 \\ (x \rightarrow \infty)}} f(x) 存在，且等于 AA 。

  • ∃\exists 符号表示“存在”，常用于逻辑和数学表达式中。它表明有至少一个元素满足某个特定条件。
  • U˚\mathring{U}（开集符号）通常用来表示集合在一定半径内的所有点。

单调有界准则​

单调有界数列必有极限

  • 单调 增加 有 上界 的数列必有极限；
  • 单调 增加 有 上界 的数列必有极限。

柯西极限存在准则（柯西审敛原理）​

数列 {xn}\{ x_n \} 收敛的充分必要条件是： 对任意给定的正数 ε\varepsilon ，存在正整数 NN ，使得当 m>N,n>Nm > N, n > N 时，有

∣xn−xm∣<ε|x_n - x_m| < \varepsilon

两个重要极限​

lim⁡x→0sin⁡xx=1\LARGE \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1
lim⁡z→0(1+z)1z=lim⁡x→∞(1+1x)x=e\LARGE \lim \limits_{z \rightarrow 0} (1 + z)^\frac{1}{z} = \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left (1 + \frac{1}{x} \right ) ^x = e