极限运算法则

本节讨论极限的求法，主要是建立极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则，利用这些法则，可以求某些函数的极限。 以后我们还将介绍求极限的其他方法。

在下面的讨论中，记号“ $\lim$ ” 下面没有标明自变量的变化过程 ，实际上，下面的定理对 $x \to x_0$ 及 $x \to \infty$ 都是成立的。 在论证时，我们只证明了 $x \to x_0$ 的情形，只要把 $\delta$ 改成 $X$，把 $0 < |x - x_0| < \delta$ 改成 $|x| > X$ ，就可得 $x \to \infty$ 情形的证明。

定理 1

两个无穷小的和是无穷小。

用数学归纳法可证：有限个无穷小之和也是无穷小。

定理 2

有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

推论 1

常数与无穷小的乘积是无穷小。

推论 2

有限个无穷小的乘积是无穷小。

定理 3

如果 $\lim f(x) = A, \lim g(x) = B$, 那么

1. $\lim [f(x) \pm g(x)] = \lim f(x) \pm \lim g(x) = A \pm B$

2. $\lim [f(x) \cdot g(x)] = \lim f(x) \cdot \lim g(x) = A \cdot B$

3. 若又有 $B \neq 0$，则

   $$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)} = \frac{A}{B}$$

定理 3 中的 (1), (2) 可推广到有限个函数的情形。 例如, 如果 $\lim f(x)$, $\lim g(x)$, $\lim h(x)$ 都存在, 则有

$$\lim [f(x) + g(x) - h(x)] = \lim f(x) + \lim g(x) - \lim h(x)$$ $$\lim [f(x) \cdot g(x) \cdot h(x)] = \lim f(x) \cdot \lim g(x) \cdot \lim h(x)$$

关于定理 3 中的 (2)，有如下推论：

推论 1

如果 $\lim f(x)$ 存在，而 $c$ 为常数，那么

$$\lim [cf(x)] = c \lim f(x)$$

就是说，求极限时，常数因子可以提到极限记号外面。 这是因为 $\lim c = c$ 。

推论 2

如果 $\lim f(x)$ 存在, 而 $n$ 是正整数, 那么

$$\lim [f(x)]^n = [\lim f(x)]^n$$

这是因为

$$\begin{align*} \lim [f(x)]^n & = \lim [f(x) \cdot f(x) \cdot \; \cdots \; \cdot f(x)] \\ & = \lim f(x) \cdot \lim f(x) \cdot \; \cdots \; \cdot \lim f(x) = [\lim f(x)]^n \end{align*}$$

关于数列，也有类似的极限四则运算法则，这就是下面的定理：

定理 4

设有数列 $\{x_n\}$ 和 $\{y_n\}$, 如果

$$\lim_{n \to \infty} x_n = A, \quad \lim_{n \to \infty} y_n = B$$

那么

1. $\lim \limits_{n \to \infty} (x_n \pm y_n) = A \pm B$

2. $\lim \limits_{n \to \infty} (x_n \cdot y_n) = A \cdot B$

3. 当 $y_n \neq 0 \; (n = 1, 2, \cdots)$ 且 $B \neq 0$ 时, $\lim \limits_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{A}{B}$

证明从略。

定理 5

如果 $\varphi (x) \geq \psi (x)$ ，而 $\lim \varphi (x) = A$ ， $\lim \psi (x) = B$, 那么 $A \geq B$ 。

定理 6 (复合函数的极限运算法则)

设函数 $y=f[g(x)]$ 是由函数 $u=g(x)$ 与函数 $y=f(u)$ 复合而成， $f[g(x)]$ 在点 $x_0$ 的某去心邻域内有定义，若 $\lim \limits_{x \to x_0} g(x) = u_0$ ， $\lim \limits_{u \to u_0} f(u) = A$ ，且存在 $\delta_0 > 0$ ，当 $x \in \overset{\circ}{U}(x_0, \delta_0)$ 时，有 $g(x) \neq u_0$，则

$$\lim_{x \to x_0} f[g(x)] = \lim_{u \to u_0} f(u) = A$$

在定理 6 中，把 $\lim \limits_{x \to x_0} g(x) = u_0$ 换成 $\lim \limits_{x \to x_0} g(x) = \infty$ 或 $\lim \limits_{x \to \infty} g(x) = \infty$ ，而把 $\lim \limits_{u \to u_0} f(u) = A$ 换成 $\lim \limits_{u \to \infty} f(u) = A$ ，可得类似的定理。

定理 6 表示，如果函数 $g(x)$ 和 $f(u)$ 满足该定理的条件，那么作代换 $u = g(x)$ 可把 $\lim \limits_{x \to x_0} f[g(x)]$ 化为求 $\lim \limits_{u \to u_0} f(u)$，这里 $u_0 = \lim \limits_{x \to x_0} g(x)$。