映射与函数

映射的定义

设 $x$，$y$ 是两个变量，$D$ 是一个给定的非空数集，如果对每一个数 $x \in D$，按照对应规则 $f$，总有 唯一确定 的数值 $y$ 与之对应，

$$x \xrightarrow[]{f} y$$

则称对应规则 $f$ 为定义在 $D$ 上的一个 函数，也称变量 $y$，是变量 $x$ 的 函数，记作

$$y = f(x) \qquad x \in D$$

其中 $x$ 称为 自变量，$y$ 称为 应变量，$D$ 称为 定义域，记作 $D_f$，即 $D_f = D$。

常用简单函数及其定义域

函数	定义域
$y = \frac{Q(x)}{P(x)}$	$P(x) \not = 0$
$y = \sqrt[2n]{x}$	$x \ge 0$
$y = \log_a x$	$x > 0$
$y = \sin x$ $y = \cos x$	$\mathbb{R}$
$y = \arcsin x$ $y = \arccos x$	$\vert x \vert < 1$
$y = \tan x$ $y = \sec x$	$\{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq k \pi + \frac{\pi}{2} , k \in \mathbb{Z} \}$
$y = \cot x$ $y = \csc x$	$\{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq k \pi , k \in \mathbb{Z} \}$

• $\mathbb{Z}$ ：由全体整数构成的集合；
• $\mathbb{R}$ ：由全体 实数 构成的集合；

函数的定义

设函数 $y=f(x)$ 的定义域是 $D$，值域为 $R$，如果对每一个 $y \in R$，由 $y=f(x)$ 可以确定唯一的 $x \in D$ 与之对应，则变量 $x$ 是变量 $y$ 的函数，称这个函数是函数 $y=f(x)$ 的 反函数，记作

$$x = f^{-1} (y) \qquad y \in R$$