函数的单调性与曲线的凹凸性

函数单调性的判定法

定理 1

设函数 $y = f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导。

1. 如果在 $(a, b)$ 内 $f'(x) \geq 0$ ，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数 $y = f(x)$ 在 $[a, b]$ 上单调增加;
2. 如果在 $(a, b)$ 内 $f'(x) \leq 0$ ，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数 $y = f(x)$ 在 $[a, b]$ 上单调减少。

曲线的凹凸性与拐点

定义

设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，如果对 $I$ 上任意两点 $x_1, x_2$ 恒有

$$f\left( \frac{x_1 + x_2}{2} \right) < \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$$

那么称 $f(x)$ 在 $I$ 上的 图形是（向上）凹的 （或 凹弧 ）；如果恒有

$$f\left( \frac{x_1 + x_2}{2} \right) > \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$$

那么称 $f(x)$ 在 $I$ 上的 图形是（向上）凸的 （或 凸弧 ）。

定理 2

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内具有一阶和二阶导数,那么

1. 若在 $(a, b)$ 内 $f"(x) > 0$ ，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的图形是凹的；
2. 若在 $(a, b)$ 内 $f"(x) < 0$ ，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的图形是凸的。