函数的极值与最大值最小值

函数的极值及其求法

定义

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 内有定义，如果对于去心邻域 $\mathring{U} (x_0)$ 内的任一 $x$，有

$$f(x) < f(x_0) \quad (\text{或 } f(x) > f(x_0)),$$

那么就称 $f(x_0)$ 是函数 $f(x)$ 的一个 极大值 （或 极小值 ）。

定理 1（必要条件）

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且在 $x_0$ 处取得极值，则 $f'(x_0) = 0$。

定理 2（第一充分条件）

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，且在 $x_0$ 的某去心邻域 $\dot{U}(x_0, \delta)$ 内可导。

1. 若 $x \in (x_0 - \delta, x_0)$ 时，$f'(x) > 0$，而 $x \in (x_0, x_0 + \delta)$ 时，$f'(x) < 0$，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值；
2. 若 $x \in (x_0 - \delta, x_0)$ 时，$f'(x) < 0$，而 $x \in (x_0, x_0 + \delta)$ 时，$f'(x) > 0$，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值；
3. 若 $x \in \dot{U}(x_0, \delta)$ 时，$f'(x)$ 的符号保持不变，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处没有极值。

定理 3（第二充分条件）

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处具有二阶导数且 $f'(x_0) = 0$，$f''(x_0) \neq 0$，则

1. 当 $f''(x_0) < 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值；
2. 当 $f''(x_0) > 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值。

最大值最小值问题

在工业生产、工程技术及科学实验中，常常会遇到这样一类问题： 在一定条件下，怎样使“产品最多”“用料最省”“成本最低”“效率最高”等问题。 这类问题在数学上常可归结为求某一函数（通常为 目标函数 ）的最大值或最小值问题。

假定函数 $f(x)$ 在闭区间 $(a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 内除有限点外可导，且至多有有限个驻点。 在上述条件下，我们来讨论 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值和最小值的求法。

首先，由闭区间上连续函数的性质可知，$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值和最小值一定存在。

其次，如果最大值（或最小值）$f(x_0)$ 在开区间 $(a,b)$ 内的点 $x_0$ 处取得， 那么，按 $f(x)$ 在开区间内除有限点外可导且至少有有限个驻点的假定， 可知 $f(x_0)$ 一定也是 $f(x)$ 的极大值（或极小值）， 从而 $x_0$ 一定是 $f(x)$ 的驻点或不可导点。 又 $f(x)$ 的最大值和最小值也可能在区间的端点处取得。 因此，可用如下方法求 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值和最小值。

• (1) 求出 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内的 驻点 及不可导点；

  当 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内没有驻点时，这个求驻点的步骤自动取消。

• (2) 计算 $f(x)$ 在上述驻点、不可导点处的函数值及 $f(a), f(b)$；

• (3) 比较 （2） 中诸值的大小，其中最大的便是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值，最小的便是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值。