隐函数及由参数方程所确定的函数的导数　相关变化率

隐函数的导数

在数学分析中，隐函数的导数是指当函数不能直接表示为 $y = f(x)$ 的形式，而是以隐式方程 $F(x, y) = 0$ 形式给出时，求导的方法。

1. 隐函数求导法

对隐函数 $F(x, y) = 0$ 两边分别对 $x$ 求导，使用链式法则：

$$\frac{d}{dx} F(x, y) = F_x + F_y \frac{dy}{dx} = 0$$

从而可得：

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$$

其中，$F_x = \frac{\partial F}{\partial x}$，$F_y = \frac{\partial F}{\partial y}$。

2. 示例

已知隐函数 $x^2 + y^2 = 1$，求 $\frac{dy}{dx}$。

对两边求导：

$$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$$

解得：

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

由参数方程所确定的函数的导数

如果函数由参数方程 $x = f(t), y = g(t)$ 给出，则 $y$ 对 $x$ 的导数由以下公式计算：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{g'(t)}{f'(t)}$$

示例

设参数方程为：

$$x = t^2 + 1, \quad y = e^t$$

计算 $\frac{dy}{dx}$：

$$\frac{dx}{dt} = 2t, \quad \frac{dy}{dt} = e^t$$

所以：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{e^t}{2t}$$

相关变化率

相关变化率（related rates）是指两个变量随时间 $t$ 的变化率之间的关系，通常用于研究一个变量如何影响另一个变量。

1. 基本步骤

1. 确定变量之间的关系，建立方程。
2. 对方程两边关于 $t$ 求导，使用链式法则。
3. 代入已知值，求解未知变化率。

2. 示例

已知一个球体的半径 $r$ 以 $dr/dt = 2$ cm/s 的速度增长，求体积 $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ 的变化率 $dV/dt$。

对体积公式求导：

$$\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$$

代入 $r = 3$ cm 和 $dr/dt = 2$ cm/s：

$$\frac{dV}{dt} = 4\pi (3)^2 (2) = 72\pi$$

即体积变化率为 $72\pi$ 立方厘米每秒。

切线方程与法线方程的求法

1. 基本概念

设曲线 $y = f(x)$ 在点 $P(x_0, y_0)$ 处可导，则：

• 切线方程：曲线上过点 $P$ 且方向与曲线在该点导数方向一致的直线
• 法线方程：过点 $P$ 且与切线垂直的直线

2. 显函数求法

情形：$y = f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处

求解步骤：

1. 计算导数 $f'(x)$，得到切线斜率 $k_{\text{切}} = f'(x_0)$

2. 法线斜率 $k_{\text{法}} = -\frac{1}{f'(x_0)}$（负倒数）

3. 代入点斜式方程：

   $$\begin{aligned} \text{切线方程：} & \quad y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \\ \text{法线方程：} & \quad y - y_0 = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0) \end{aligned}$$

示例：求曲线 $y = x^2$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线方程和法线方程

解：

1. $f'(x) = 2x \Rightarrow f'(1) = 2$
2. 切线方程：$y - 1 = 2(x - 1) \Rightarrow y = 2x - 1$
3. 法线方程：$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1) \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$

3. 隐函数求法

情形：$F(x, y) = 0$ 确定的隐函数

求解步骤：

1. 对等式两边求导，解出 $\frac{dy}{dx}$
2. 将点 $(x_0, y_0)$ 代入导数表达式，得到切线斜率 $k_{\text{切}}$
3. 法线斜率 $k_{\text{法}} = -\frac{1}{k_{\text{切}}}$
4. 使用点斜式方程

示例：求曲线 $x^2 + y^2 = 25$ 在点 $(3, 4)$ 处的切线方程

解：

1. 隐函数求导：$2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$
2. 代入 $(3, 4)$：$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(3,4)} = -\frac{3}{4}$
3. 切线方程：$y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3) \Rightarrow 3x + 4y = 25$

4. 参数方程求法

情形：曲线由 $\begin{cases}x = x(t) \\ y = y(t)\end{cases}$ 确定

求解步骤：

1. 计算导数 $\frac{dx}{dt}$ 和 $\frac{dy}{dt}$
2. 求导数之比：$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$
3. 将参数值 $t_0$ 代入得到切线斜率 $k_{\text{切}}$
4. 建立点斜式方程

示例：求参数方程 $\begin{cases}x = t^2 \\ y = t^3\end{cases}$ 在 $t=1$ 处的切线方程

解：

1. $\frac{dx}{dt} = 2t$, $\frac{dy}{dt} = 3t^2$
2. $\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3t}{2}$
3. 当 $t=1$ 时：$k_{\text{切}} = \frac{3}{2}$，对应点 $(1, 1)$
4. 切线方程：$y - 1 = \frac{3}{2}(x - 1) \Rightarrow y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}$

5. 特殊情况处理

• 垂直切线：当 $\frac{dy}{dx} \to \infty$ 时，切线方程为 $x = x_0$
• 水平切线：当 $\frac{dy}{dx} = 0$ 时，法线方程为 $x = x_0$

6. 核心公式总结

$$\begin{aligned} \text{切线方程：} & \quad y = y_0 + f'(x_0)(x - x_0) \\ \text{法线方程：} & \quad y = y_0 - \frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0) \end{aligned}$$

注意：求导前需验证函数在点处可导，不可导时需用极限方法处理