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一阶线性微分方程

线性方程​

　　方程

dydx+P(x)y=Q(x)(4-1)\tag{4-1} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + P(x)y = Q(x)

叫做 一阶线性微分方程 ，因为它对于未知函数 yy 及其导数是一阶方程。
如果 Q(x)≡0Q(x) \equiv 0 ，那么方程（4-1）称为 齐次 的；
如果 Q(x)≢0Q(x) \not \equiv 0，那么方程（4-1）称为 非齐次 的。

　　设（4-1）为非齐次线性方程。 为了求出非齐次线性方程（4-1）的解，我们先把 Q(x)Q(x) 换成零而写出方程

dydx+P(x)y=0(4-2)\tag{4-2} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + P(x)y = 0

方程（4-2）叫做 对应于 非齐次线性方程（4-1）的齐次线性方程。 方程（4-2）是可分离变量的，分离变量后得

dyy=−P(x)dx\frac{\mathrm{d} y}{y} = -P(x) \mathrm{d} x

两端积分，得

ln⁡∣y∣=−∫P(x)dx+C1\ln |y| = -\int P(x) \mathrm{d} x + C_1

或

y=Ce−∫P(x)dx(C=±eC1)y = Ce^{-\int P(x) \mathrm{d} x} \quad (C = \pm e^{C_1})

这是对应的齐次线性方程（4-2）的通解。

这里记号 ∫P(x)dx\int P(x) \mathrm{d} x 表示 P(x)P(x) 的某个确定的原函数。

　　现在我们使用所谓 常数变易法 来求非齐次线性方程（4-1）的通解。 这方法是把（4-2）的通解中的 CC 换成 xx 的未知函数 u(x)u(x) ，即作变换

y=ue−∫P(x)dx(4-3)\tag{4-3} y = ue^{-\int P(x) \mathrm{d} x}

于是

dydx=u′e−∫P(x)dx−uP(x)e−∫P(x)dx(4-4)\tag{4-4} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = u'e^{-\int P(x) \mathrm{d} x} - uP(x)e^{-\int P(x) \mathrm{d} x}

将（4-3）和（4-4）代入方程（4-1）得

u′e−∫P(x)dx−uP(x)e−∫P(x)dx+P(x)ue−∫P(x)dx=Q(x)u'e^{-\int P(x) \mathrm{d} x} - uP(x)e^{-\int P(x) \mathrm{d} x} + P(x)ue^{-\int P(x) \mathrm{d} x} = Q(x)

即

u′e−∫P(x)dx=Q(x),u′=Q(x)e∫P(x)dxu'e^{-\int P(x) \mathrm{d} x} = Q(x), \quad u' = Q(x)e^{\int P(x) \mathrm{d} x}

两端积分，得

u=∫Q(x)e∫P(x)dxdx+Cu = \int Q(x)e^{\int P(x) \mathrm{d} x} \mathrm{d} x + C

把上式代入（4-3），便得非齐次线性方程（4-1）的通解

y=e−∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C](4-5)\tag{4-5} y = e^{-\int P(x) \mathrm{d} x} \left[ \int Q(x)e^{\int P(x) \mathrm{d} x} \mathrm{d} x + C \right]

将（4-5）改写成两项之和

y=Ce−∫P(x)dx+e−∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dxdxy = Ce^{-\int P(x) \mathrm{d} x} + e^{-\int P(x) \mathrm{d} x} \int Q(x)e^{\int P(x) \mathrm{d} x} \mathrm{d} x

上式右端第一项是对应的齐次线性方程（4-2）的通解，第二项是非齐次线性方程（4-1）的一个特解（在 (4-1) 的通解 (4-5) 中取 C=0C=0 便得到这个特解）。 由此可知，一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。

伯努利方程​

// TODO: 不考