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可分离变量的微分方程

　　本书至第四节，我们讨论一阶微分方程

y′=f(x,y)(2-1)\tag{2-1} y' = f(x, y)

的一些解法。

　　一阶微分方程有时也写成如下的对称形式：

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0(2-2)\tag{2-2} P(x,y)\mathrm{d} x + Q(x,y)\mathrm{d} y = 0

在方程 (2-2) 中，变量 xx 与 yy 对称，它既可看作是以 xx 为自变量 yy 为因变量的方程

dydx=P(x,y)Q(x,y)\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{P(x,y)}{Q(x,y)}

（这时 Q(x,y)≠0Q(x,y) \neq 0 ），也可看作是以 yy 为自变量 xx 为因变量的方程

dxdy=Q(x,y)P(x,y)\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y} = \frac{Q(x,y)}{P(x,y)}

（这时 P(x,y)≠0P(x,y) \neq 0 ）。

　　在 微分方程的基本概念 中，我们遇到一阶微分方程

dydx=2x\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 2x

或

dy=2xdx\mathrm{d} y = 2x\mathrm{d} x

把上述两端积分就得到这个方程的通解

y=x2+Cy = x^2 + C

但是并不是所有的一阶微分方程都能这样求解。 例如，对于一阶微分方程

dydx=2xy2(2-3)\tag{2-3} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 2xy^2

就不能像上面那样用直接对两端积分的方法求出它的通解。 这是什么缘故呢？原因是方程 (2-3) 的右端含有与 xx 存在函数关系的变量 yy ，积分

∫2xy2dx\int 2xy^2 \mathrm{d} x

求不出来，这是困难所在。 为了解决这个困难，在方程 (2-3) 的两端同时乘 dyy2\frac{\mathrm{d} y}{y^2} ，使方程 (2-3) 变为

dyy2=2xdx\frac{\mathrm{d} y}{y^2} = 2x \mathrm{d} x

这样，变量 xx 与 yy 已分离在等式的两端，然后两端积分得

−1y=x2+C-\frac{1}{y} = x^2 + C

或

y=−1x2+C(2-4)\tag{2-4} y = -\frac{1}{x^2 + C}

其中 CC 是任意常数。

　　可以验证，函数 (2-4) 确实满足一阶微分方程 (2-3) ，且含有一个任意常数，所以它是方程 (2-3) 的通解。

　　一般地，如果一个一阶微分方程能写成

g(y)dy=f(x)dx(2-5)\tag{2-5} g(y) \mathrm{d} y = f(x) \mathrm{d} x

的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含 yy 的函数和 dy\mathrm{d} y ，另一端只含 xx 的函数和 dx\mathrm{d} x ，那么原方程就称为 可分离变量的微分方程 。

　　假定方程 (2-5) 中的函数 g(y)g(y) 和 f(x)f(x) 是连续的。 设 y=φ(x)y=\varphi(x) 是方程 (2-5) 的解，将它代入 (2-5) 中得到恒等式

g[φ(x)]φ′(x)dx=f(x)dxg[\varphi(x)] \varphi'(x) \mathrm{d} x = f(x) \mathrm{d} x

将上述两端积分，并由 y=φ(x)y=\varphi(x) 引进变量 yy，得

∫g(y)dy=∫f(x)dx\int g(y)\mathrm{d} y = \int f(x)\mathrm{d} x

设 G(y)G(y) 及 F(x)F(x) 依次为 g(y)g(y) 及 f(x)f(x) 的原函数，于是有

G(y)=F(x)+C(2-6)\tag{2-6} G(y) = F(x) + C

因此，方程 (2-5) 的解满足关系式 (2-6) 。 反之，如果 y=Φ(x)y=\Phi(x) 是由关系式 (2-6) 所确定的隐函数，那么在 g(y)≠0g(y) \neq 0 的条件下， y=Φ(x)y = \Phi(x) 也是方程 (2-5) 的解，事实上，由隐函数的求导法可知，当 g(y)≠0g(y) \neq 0 时，

Φ′(x)=F′(x)G′(y)=f(x)g(y)\Phi'(x) = \frac{F'(x)}{G'(y)} = \frac{f(x)}{g(y)}

这就表示函数 y=Φ(x)y = \varPhi(x) 满足方程 (2-5)。
所以，如果已分离变量的方程 (2-5) 中， g(y)g(y) 和 f(x)f(x) 是连续的，且 g(y)≠0g(y) \neq 0 ，
那么 (2-5) 式两端积分后得到的关系式 (2-6) ，就用隐式给出了方程 (2-5) 的解，(2-6) 式就叫做微分方程 (2-5) 的 隐式解 。
又由于关系式 (2-6) 中含有任意常数，因此 (2-6) 式所定的隐函数是方程 (2-5) 的通解，所以 (2-6) 式叫做微分方程 (2-5) 的 隐式通解
（当 f(x)≠0f(x) \neq 0 时， (2-6) 式所确定的隐式函数 x=Ψ(y)x = \varPsi(y) 也可以认为是方程 (2-5) 的解）。