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常系数齐次线性微分方程

  先讨论二阶常系数齐次线性微分方程的解法,再把二阶方程的解法推广到 nn 阶方程。

  在二阶齐次线性微分方程

y+P(x)y+Q(x)y=0(7-1)\tag{7-1} y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0

中,如果 y,yy', y 的系数 P(x),Q(x)P(x), Q(x) 均为常数,即 (7-1) 式成为

y+py+qy=0(7-2)\tag{7-2} y'' + p y' + q y = 0

其中 p,qp, q 是常数,那么称 (7-2) 为 二阶常系数齐次线性微分方程
如果 p,qp, q 不全为常数,称 (7-1) 为 二阶变系数齐次线性微分方程

  由上节讨论可知,要找微分方程 (7-2) 的通解,可以先求出它的两个解 y1,y2y_1, y_2 如果它们之比不为常数,即 y1y_1y2y_2 线性无关,那么 y=C1y+C2y2y = C_1 y + C_2 y_2 就是方程 (7-2) 的通解。

  当 rr 为常数时,指数函数 y=erxy = e^{rx} 和它的各阶导数都只相差一个常数因子。 由于指数函数有这个特点,因此我们用 y=erxy = e^{rx} 来尝试,看能否选取适当的常数 rr ,使 y=erxy = e^{rx} 满足方程 (7-2) 。

  将 y=erxy = e^{rx} 求导,得到

y=rerx,y=r2erxy' = re^{rx}, \quad y'' = r^2e^{rx}

rr 为复数 a+bia + b \mathrm{i}xx 为实变量时,导数公式 ddxerx=rerx\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} e^{rx} = r e^{rx} 仍成立。事实上,对欧拉公式

e(a+bi)x=eax(cosbx+isinbx)e^{(a + b \mathrm{i}) x} = e^{ax} (\cos bx + \mathrm{i} \sin bx)

两端求导,得

ddxe(a+bi)x=aeax(cosbx+isinbx)+eax(bsinbx+ibcosbx)=(a+bi)eax(cosbx+isinbx)=(a+bi)e(a+bi)x\begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} e^{(a+b \mathrm{i}) x} & = a e^{ax} (\cos bx + \mathrm{i} \sin bx) + e^{ax} (-b \sin bx + \mathrm{i} b \cos bx) \\ & = (a + b \mathrm{i}) e^{ax} (\cos bx + \mathrm{i} \sin bx) = (a + b \mathrm{i}) e^{(a+b \mathrm{i}) x} \end{align*}

y,yy, y'yy'' 代入方程 (7-2) ,得

(r2+pr+q)erx=0(r^2 + pr + q) e^{rx} = 0

由于 erx0e^{rx} \neq 0 ,所以

r2+pr+q=0(7-3)\tag{7-3} r^2 + pr + q = 0

  由此可见,只要 rr 满足代数方程 (7-3) ,函数 y=erxy = e^{rx} 就是微分方程 (7-2) 的解, 我们把代数方程 (7-3) 叫做微分方程 (7-2) 的 特征方程

  特征方程 (7-3) 是一个二次代数方程,其中 r2,rr^2, r 的系数及常数项恰好依次是微分方程 (7-2) 中 yy''yy'yy 的系数。

  特征方程 (7-3) 的两个根 r1r_1r2r_2 可以用以下公式求出:

r1,2=p±p24q2r_{1,2} = \frac{-p \pm \sqrt{p^2 - 4q}}{2}

它们有三种不同的情形:

  1. p24q>0p^2 - 4q > 0 时,r1,r2r_1, r_2 是两个不相等的实根

    r1=p+p24q2,r2=pp24q2r_1 = \frac{-p + \sqrt{p^2 - 4q}}{2}, \quad r_2 = \frac{-p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2}
  2. p24q=0p^2 - 4q = 0 时,r1,r2r_1, r_2 是两个相等的实根

    r1=r2=p2r_1 = r_2 = \frac{-p}{2}
  3. p24q<0p^2 - 4q < 0 时,r1,r2r_1, r_2 是一对共轭复根

    r1=α+βi,r2=αβir_1 = \alpha + \beta \mathrm{i}, \quad r_2 = \alpha - \beta \mathrm{i}

    其中

    α=p2,β=4qp22\alpha = \frac{-p}{2}, \quad \beta = \frac{\sqrt{4q - p^2}}{2}

  相应地,微分方程 (7-2) 的通解也有三种不同的情形,分别讨论如下:

  1. 特征方程有两个不相等的实根:r1r2r_1 \neq r_2

      由上面的讨论知道,y1=er1x,y2=er2xy_1 = e^{r_1 x}, y_2 = e^{r_2 x} 是微分方程 (7-2) 的两个解,并且 y2y1=er2xer1x=e(r2r1)x\frac{y_2}{y_1} = \frac{e^{r_2 x}}{e^{r_1 x}} = e^{(r_2 - r_1) x} 不是常数,因此微分方程 (7-2) 的通解为

    y=C1er1x+C2er2xy = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}
  2. 特征方程有两个相等的实根:r1=r2r_1 = r_2

      这时,只得到微分方程 (7-2) 的一个解

    y1=er1xy_1 = e^{r_1 x}

      为了得出微分方程 (7-2) 的通解,还需求出另一个解 y2y_2,并且要求 y2y1\frac{y_2}{y_1} 不是常数。 设 y2y1=u(x)\frac{y_2}{y_1} = u(x) ,即 y2=er1xu(x)y_2 = e^{r_1 x} u(x) 。 下面来求 u(x)u(x) 。 将 y2y_2 求导,得

    y2=er1x(u+r1u)y2=er1x(u+2r1u+r12u)\begin{align*} y_2' & = e^{r_1 x} (u' + r_1 u) \\ y_2'' & = e^{r_1 x} (u'' + 2r_1 u' + r_1^2 u) \end{align*}

    y2,y2,y2y_2, y_2', y_2'' 代入微分方程 (7-2),得

    er1x[(u+2r1u+r12u)+p(u+r1u)+qu]=0e^{r_1 x} \left[ (u'' + 2r_1 u' + r_1^2 u) + p (u' + r_1 u) + q u \right] = 0

    约去 er1xe^{r_1 x},并合并同类项,得

    u+(2r1+p)u+(r12+pr1+q)u=0u'' + (2r_1 + p) u' + (r_1^2 + p r_1 + q) u = 0

    由于 r1r_1 是特征方程 (7-3) 的二重根。 因此 r12+pr1+q=0r_1^2 + p r_1 + q = 0,且 2r1+p=02r_1 + p = 0,于是得

    u=0u'' = 0

    因为这里只要得到一个不为常数的解,所以不妨选取 u=xu = x,由此得到微分方程 (7-2) 的另一个解

    y2=xer1xy_2 = x e^{r_1 x}

    从而微分方程 (7-2) 的通解为

    y=C1er1x+C2xer1xy = C_1 e^{r_1 x} + C_2 x e^{r_1 x}

    y=(C1+C2x)er1xy = (C_1 + C_2 x) e^{r_1 x}
  3. 特征方程有一对共轭复根:r1=α+βi,r2=αβi(β0)r_1 = \alpha + \beta \mathrm{i}, \, r_2 = \alpha - \beta \mathrm{i} \, (\beta \neq 0)

      这时,y1=e(α+βi)x,y2=e(αβi)xy_1 = e^{(\alpha + \beta \mathrm{i}) x}, \, y_2 = e^{(\alpha - \beta \mathrm{i})x} 是微分方程 (7-2) 的两个解,但它们是复值函数形式。 为了得出实值函数形式的解,先利用欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθe^{\mathrm{i} \theta} = \cos \theta + \mathrm{i} \sin \thetay1,y2y_1, y_2 改写为

    y1=e(α+βi)x=eαxeβxi=eαx(cosβx+isinβx)y2=e(αβi)x=eαxeβxi=eαx(cosβxisinβx)\begin{align*} y_1 & = e^{(\alpha + \beta \mathrm{i}) x} = e^{\alpha x} \cdot e^{\beta x \mathrm{i}} = e^{\alpha x} (\cos \beta x + \mathrm{i} \sin \beta x) \\ y_2 & = e^{(\alpha - \beta \mathrm{i}) x} = e^{\alpha x} \cdot e^{-\beta x \mathrm{i}} = e^{\alpha x} (\cos \beta x - \mathrm{i} \sin \beta x) \end{align*}

    由于复值函数 y1y_1y2y_2 之间成共轭关系,因此,取它们的和除以 22 就得到它们的实部,取它们的差除以 2i2 \mathrm{i} 就得到它们的虚部。 由于方程 (7-2) 的解符合叠加原理,所以实值函数

    yˉ1=12(y1+y2)=eαxcosβx,yˉ2=12i(y1y2)=eαxsinβx\bar{y}_1 = \frac{1}{2} (y_1 + y_2) = e^{\alpha x} \cos \beta x, \quad \bar{y}_2 = \frac{1}{2 \mathrm{i}} (y_1 - y_2) = e^{\alpha x} \sin \beta x

    还是微分方程 (7-2) 的解,且 yˉ1yˉ2=eαxcosβxeαxsinβx=cotβx\frac{\bar{y}_1}{\bar{y}_2} = \frac{e^{\alpha x} \cos \beta x}{e^{\alpha x} \sin \beta x} = \cot \beta x 不是常数,所以微分方程 (7-2) 的通解为

    y=eαx(C1cosβx+C2sinβx).y = e^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x).

  综上所述,求二阶常系数齐次线性微分方程

y+py+qy=0(7-2)\tag{7-2} y'' + py' + qy = 0

的通解的步骤如下:

  • 第一步 写出微分方程 (7-2) 的特征方程

    r2+pr+q=0(7-3)\tag{7-3} r^2 + pr + q = 0
  • 第二步 求出特征方程 (7-3) 的两个根 r1,r2r_1, r_2

  • 第三步 根据特征方程 (7-3) 的两个根的不同情形,按照下列表格写出微分方程 (7-2) 的通解:

    特征方程 r2+pr+q=0r^2 + pr + q = 0 的两个根 r1,r2r_1, r_2微分方程 y+py+qy=0y'' + py' + qy = 0 的通解
    两个不相等的实根 r1,r2r_1, r_2y=C1er1x+C2er2xy = C_1 e^{r_{1^x}} + C_2 e^{r_{2^x}}
    两个相等的实根 r1=r2r_1 = r_2y=(C1+C2x)er1xy = (C_1 + C_2 x) e^{r_{1^x}}
    一对共轭复根 r1,2=α±βir_{1,2} = \alpha \pm \beta \mathrm{i}y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)y = e^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)