填空题

设函数 $f(x) = \begin{cases} (1 + x)^{\frac{2}{x}}, & x \neq 0 \\ k, & x = 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处连续，则参数 $k =$ ____ 。

答案解析

答案：$e^2$

考点解析：

1. 函数连续性 ： 函数在某点连续的条件是极限值等于函数值。
2. 两个重要极限 ： 利用 $\lim \limits_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$。
3. 极限的指数运算：通过变形将问题转化为已知极限的形式。

解题思路：

1. 分析极限形式：

   当 $x \to 0$ 时，表达式 $(1+x)^{\frac{2}{x}}$ 可以写为：

   $$\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{2}{x}} = \lim_{x \to 0} \left[(1+x)^{\frac{1}{x}}\right]^2$$

2. 应用已知极限：

   已知 $\lim \limits_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$，因此：

   $$\lim_{x \to 0} \left[(1+x)^{\frac{1}{x}}\right]^2 = e^2$$

3. 验证极限的左右一致性：

   • 当 $x \to 0^+$ 时，$\frac{2}{x} \to +\infty$，$(1+x)^{\frac{2}{x}} \to e^2$。

   • 当 $x \to 0^-$ 时，令 $x = -h \, (h \to 0^+)$ ，则：

     $$(1-h)^{-\frac{2}{h}} = \left[(1-h)^{-\frac{1}{h}}\right]^2 \to e^2$$

   左右极限均为 $e^2$ ，故原极限存在且为 $e^2$ 。

4. 确定参数 $k$：

   根据连续性定义， $k = \lim \limits_{x \to 0} f(x) = e^2$ 。

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不定积分 $\int \frac{dx}{\sqrt{x} (1 + x)} =$ ____ 。

答案解析

答案：$2 \arctan{\sqrt{x}} + C$

考点解析：

1. 换元积分法 ： 通过变量替换简化被积表达式。

2. 基本积分公式 ： 利用 $\int \frac{1}{1 + t^2} \mathrm{d} t = \arctan{t} + C$ 。

3. 代数运算：通过约分简化积分表达式。

解题思路：

1. 设变量替换：

   令 $t = \sqrt{x}$，则 $x = t^2$，且 $\mathrm{d} x = 2t \, \mathrm{d} t$。

2. 代入并化简：
   原积分变为：

   $$\int \frac{1}{\sqrt{x} (1 + x)} \mathrm{d} x = \int \frac{1}{t (1 + t^2)} \cdot 2t \, \mathrm{d} t$$

   约去 $t$ 后得到：

   $$\int \frac{2}{1 + t^2} dt$$

3. 积分运算：
   根据基本积分公式：

   $$\int \frac{2}{1 + t^2} dt = 2 \arctan{t} + C$$

4. 回代变量：
   将 $t = \sqrt{x}$ 代入，结果为：

   $$2 \arctan{\sqrt{x}} + C$$

5. 验证：
   对结果求导验证：

   $$\frac{d}{dx} \left( 2 \arctan{\sqrt{x}} \right) = 2 \cdot \frac{1}{1 + x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x} (1 + x)}$$

   与原被积函数一致，说明结果正确。

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曲线 $y = x^3 - 3x^2 + 1$ 的拐点是 ____ 。

答案解析

答案：$(1, -1)$

考点解析：

1. 二阶导数判断凹凸性
2. 拐点的定义及求解步骤

解题思路：

要确定曲线 $y = x^3 - 3x^2 + 1$ 的拐点，需验证二阶导数的零点及其两侧凹凸性变化。

1. 求一阶导数：$y' = 3x^2 - 6x$
2. 求二阶导数：$y'' = 6x - 6$
3. 解方程 $y'' = 0$：$6x - 6 = 0 \Rightarrow x = 1$
4. 验证凹凸性变化：
   • 当 $x < 1$ 时（如 $x=0$），$y'' = -6 < 0$，曲线凹向下。
   • 当 $x > 1$ 时（如 $x=2$），$y'' = 6 > 0$，曲线凹向上。
5. 计算对应 $y$ 值：代入原函数，$y = 1^3 - 3(1)^2 + 1 = -1$

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函数 $\int_{1}^{x} \left(2 - \frac{1}{\sqrt{t}}\right) \mathrm{d} t \, (x > 0)$ 的单调减区间为 ____ 。

答案解析

答案：$(0, \frac{1}{4})$

考点解析：

1. 变上限积分的导数：根据微积分基本定理，$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)$。
2. 导数的符号与单调性：若导数为负，函数在该区间单调递减。
3. 不等式求解：解 $f'(x) < 0$ 的区间。

解题思路：

1. 求导
   根据微积分基本定理，原函数的导数为被积函数在 $x$ 处的值：

   $$f'(x) = 2 - \frac{1}{\sqrt{x}}$$

2. 解不等式

   要求 $f'(x) < 0$，即：

   $$2 - \frac{1}{\sqrt{x}} < 0 \implies \frac{1}{\sqrt{x}} > 2 \implies \sqrt{x} < \frac{1}{2} \implies x < \frac{1}{4}$$

   由于 $x > 0$，解集为 $0 < x < \frac{1}{4}$。

3. 验证端点

   • 当 $x = \frac{1}{4}$ 时，$f'(x) = 2 - \frac{1}{\sqrt{1/4}} = 0$，此处导数为零，函数达到极小值点。
   • 当 $x > \frac{1}{4}$ 时，$f'(x) > 0$，函数递增； 当 $x < \frac{1}{4}$ 时，$f'(x) < 0$，函数递减。

   因此，单调减区间不包含 $x = \frac{1}{4}$。

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函数 $z = \ln(x^3 + y^3)$ 在点 $(1,1)$ 处的全微分 $\mathrm{d} z \big|_{(1,1)} =$ ____ 。

答案解析

答案：$\dfrac{3}{2}(\mathrm{d} x + \mathrm{d} y)$

考点解析：

1. 全微分的定义 ： $\mathrm{d} z = \frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{d}x + \frac{\partial z}{\partial y} \mathrm{d}y$。
2. 链式法则 ： 复合函数求导时外层函数导数乘以内层函数导数。
3. 偏导数的计算 ： 对多变量函数分别对每个变量求导。

解题思路：

1. 求偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$：

   $$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x^3 + y^3} \cdot 3x^2 = \frac{3x^2}{x^3 + y^3}$$

2. 求偏导数 $\frac{\partial z}{\partial y}$：

   $$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x^3 + y^3} \cdot 3y^2 = \frac{3y^2}{x^3 + y^3}$$

3. 代入点 $(1,1)$：

   • 计算分母：$x^3 + y^3 = 1^3 + 1^3 = 2$。
   • 计算分子： $$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)} = \frac{3 \cdot 1^2}{2} = \frac{3}{2}, \quad \frac{\partial z}{\partial y}\bigg|_{(1,1)} = \frac{3 \cdot 1^2}{2} = \frac{3}{2}$$

4. 写出全微分：

   $$\mathrm{d} z \big|_{(1,1)} = \frac{3}{2} \mathrm{d} x + \frac{3}{2} \mathrm{d} y = \frac{3}{2} (\mathrm{d} x + \mathrm{d} y)$$