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选择题

函数 f(x)=ln(x+1)+1xf(x) = \ln (x + 1) + \sqrt{1 - x} 的定义域为 (____)

  • A. [1,1][-1, 1]
  • B. (1,1](-1, 1]
  • C. [1,1)[-1, 1)
  • D. (1,1)(-1, 1)
答案解析

答案:B. (1,1](-1, 1]

考点解析常用简单函数及其定义域

解题思路:分别分析各组成部分的定义域,求其交集并验证边界点的合法性。

函数 f(x)=ln(x+1)+1xf(x) = \ln (x + 1) + \sqrt{1 - x} 的定义域需要满足以下两个条件:

  1. 自然对数部分 ln(x+1)\ln(x + 1) 的定义域
    要求对数的真数大于 00,即 x+1>0    x>1x + 1 > 0 \implies x > -1,对应区间 (1,+)(-1, +\infty)

  2. 平方根部分 1x\sqrt{1 - x} 的定义域
    要求根号内的表达式非负,即 1x0    x11 - x \geq 0 \implies x \leq 1,对应区间 (,1](-\infty, 1]

定义域的交集
函数 f(x)f(x) 的定义域是两部分定义域的交集,即满足 x>1x > -1x1x \leq 1,合并后为 (1,1](-1, 1]

验证边界点

  • x=1x = -1 时,ln(0)\ln(0) 无定义,因此 1-1 不在定义域内(左开区间)。
  • x=1x = 1 时,ln(2)\ln(2)0\sqrt{0} 均有定义,因此 11 包含在定义域内(右闭区间)。

x=1x = 1 是函数 f(x)=x21sin(x1)f(x) = \frac{x^2 - 1}{\sin(x - 1)} 的(____)

  • A. 可去间断点
  • B. 跳跃间断点
  • C. 振荡间断点
  • D. 以上都不对
答案解析

答案:A. 可去间断点

考点解析: 本题考察 函数间断点的分类 , 需判断 x=1x = 1 是否为函数 f(x)=x21sin(x1)f(x) = \frac{x^2 - 1}{\sin(x-1)} 的可去间断点、跳跃间断点、振荡间断点或其他类型。

解题思路:

  1. 化简表达式: 分子 x21x^2 - 1 可分解为 (x1)(x+1)(x-1)(x+1),分母 sin(x1)\sin(x-1)x1x \to 1 时等价于 x1x-1(利用等价无穷小替换)。
  2. 求极限:x1x \to 1 时,原式近似为 (x1)(x+1)x1=x+1\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1,极限为 22
  3. 间断点类型: 由于极限存在且为有限值(2),但函数在 x=1x=1 处无定义,因此 x=1x=1可去间断点(通过补充定义 f(1)=2f(1)=2 可使函数连续)。

f(x)=x2f(x) = |x - 2|x=2x = 2 处的导数是(____)

  • A. 11
  • B. 00
  • C. 1-1
  • D. 不存在
答案解析

答案:D. 不存在

考点解析:

同济高数八版 p77 例 7

  1. 绝对值函数的导数性质:绝对值函数 xa|x - a|x=ax = a 处不可导,因为左右导数不相等。
  2. 左右导数的定义:导数存在的充要条件是左导数与右导数存在且相等。

解题思路:

  1. 分段分析函数

    • x>2x > 2 时,f(x)=x2f(x) = x - 2,此时导数为 f(x)=1f'(x) = 1
    • x<2x < 2 时,f(x)=2xf(x) = 2 - x,此时导数为 f(x)=1f'(x) = -1
  2. 计算左右导数

    • 右导数h0+h \to 0^+):

      limh0+f(2+h)f(2)h=limh0+h0h=1.\lim_{h \to 0^+} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h - 0}{h} = 1.
    • 左导数h0h \to 0^-):

      limh0f(2+h)f(2)h=limh0h0h=1.\lim_{h \to 0^-} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h - 0}{h} = -1.
  3. 结论
    由于左导数(1-1)与右导数(11)不相等,f(x)f(x)x=2x = 2 处的导数 不存在


11x3cosx1+x2dx=\large \displaystyle \int_{-1}^1 \frac{x^3 \cos x}{1 + x^2} \mathrm{d} x = (____)

  • A. 00
  • B. 11
  • C. 22
  • D. 1-1
答案解析

答案:A. 00

考点解析:

解题思路:

定义:如果函数满足 f(x)=f(x)f(-x) = -f(x),则称其为奇函数。 对于奇函数,有一个重要性质:

aaf(x)dx=0\int_{-a}^{a} f(x) \, \mathrm{d} x = 0
  1. 判断被积函数的奇偶性

    • 分项分析
      • x3x^3 是奇函数,因为 (x)3=x3(-x)^3 = -x^3
      • cosx\cos x 是偶函数,因为 cos(x)=cosx\cos(-x)=\cos x
      • 1+x21+x^2 是偶函数,因为 1+(x)2=1+x21+(-x)^2 = 1+x^2
    • 综合考虑
      • 奇函数(x3x^3)乘以偶函数(cosx\cos x)仍为奇函数;
      • 奇函数除以偶函数(1+x21+x^2)仍保持奇函数的性质。

    因此,整个被积函数满足 f(x)=f(x)f(-x)=-f(x),是奇函数。

  2. 应用奇函数积分性质

    由于被积函数为奇函数,而积分区间 [1,1][-1,1] 关于原点对称,根据奇函数的积分性质,

    11x3cosx1+x2dx=0\int_{-1}^1 \frac{x^3 \cos x}{1 + x^2} \mathrm{d} x = 0

关于函数 y=f(x)y=f(x) 在点 x=x0x=x_0 处连续、可导及可微三者的关系,下列正确的是(____)

  • A. 连续是可微的充分条件
  • B. 可导是可微的充要条件
  • C. 可微不是连续的充分条件
  • D. 连续是可导的充要条件
答案解析

答案:B. 可导是可微的充要条件

考点解析:

解题思路:

  • A. 连续是可微的充分条件 ❌

    • 反例:f(x)=xf(x) = |x|x=0x=0 处连续,但不可导,因此更不可能可微。
    • 说明连续并不一定可微,所以此选项错误。
  • B. 可导是可微的充要条件 ✅

    • 从定义可知,可微的定义本身就是基于可导的条件,因此 可导是可微的充要条件,此选项正确。
  • C. 可微不是连续的充分条件 ❌

    • 由于可微必然可导,可导必然连续,因此可微必然连续(即可微 \Rightarrow 连续)。
    • 可微是连续的充分条件,而非“不是充分条件”,此选项错误。
  • D. 连续是可导的充要条件 ❌

    • 反例:f(x)=xf(x) = |x|x=0x=0 处连续但不可导,说明连续不是可导的充分条件。
    • 反例:f(x)=x2sin(1/x) f(x) = x^2 \sin(1/x)x0x \neq 0),f(0)=0f(0) = 0,在 x=0x=0 处可导但不连续,说明连续也不是可导的必要条件。
    • 因此,连续不是可导的充要条件,选项错误。

下列等式正确的是(____)

  • A. df(x)=f(x)\int \mathrm{d} f(x) = f(x)
  • B. df(x)dx=f(x)\mathrm{d} \int f(x) \mathrm{d} x = f(x)
  • C. f(x)dx=f(x)\int f'(x) \mathrm{d} x = f(x)
  • D. ddxf(x)dx=f(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int f(x) \mathrm{d} x = f(x)
答案解析

答案:D. ddxf(x)dx=f(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int f(x) \mathrm{d} x = f(x)

考点解析:

  • 原函数定义 : 如果 F(x)F(x)f(x)f(x) 的一个原函数,则 f(x)dx=F(x)+C\int f(x) \mathrm{d}x = F(x) + C
  • 牛顿-莱布尼茨公式ddxf(x)dx=f(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int f(x) \mathrm{d} x = f(x) (严格意义上适用于定积分,但不定积分的求导仍然满足,可以看作是不定积分与求导互为逆运算的基本性质。)

解题思路:

  • 选项 A : df(x)=f(x)\int \mathrm{d} f(x) = f(x)

    • 错误,应该是 df(x)=f(x)+C\int \mathrm{d} f(x) = f(x) + C,少了一个积分常数 CC
  • 选项 B : df(x)dx=f(x)\mathrm{d} \int f(x) \mathrm{d} x = f(x)

    • 错误,对不定积分 F(x)=f(x)dxF(x) = \int f(x) \mathrm{d}x 进行微分,应该得到 dF(x)=F(x)dx=f(x)dx\mathrm{d}F(x) = F'(x) \mathrm{d}x = f(x) \mathrm{d}x,而非 f(x)f(x)
  • 选项 C : f(x)dx=f(x)\int f'(x) \mathrm{d} x = f(x)

    • 错误,应为 f(x)dx=f(x)+C\int f'(x) \mathrm{d} x = f(x) + C,缺少了积分常数 CC
  • 选项 D : ddxf(x)dx=f(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int f(x) \mathrm{d} x = f(x)

    • 正确,根据牛顿-莱布尼茨公式,微积分互为逆运算,成立。

函数 f(x)=2x2xf(x) = 2^x - 2^{-x} 是(____)

  • A. 奇函数
  • B. 偶函数
  • C. 有界函数
  • D. 周期函数
答案解析

答案:A. 奇函数

考点解析:

解题思路:

  1. 判断奇偶性

    f(x)=(2x2x)=2x+2x=2x2x=f(x)-f(x) = -(2^x - 2^{-x}) = -2^x + 2^{-x} = 2^{-x} - 2^x = f(-x)

    因此,f(x)f(x)奇函数 ,选项 A 正确。

  2. 判断有界性

    考虑 f(x)=2x2xf(x) = 2^x - 2^{-x} 的极限:

    • x+x \to +\infty 时,2x2^x 迅速增大,而 2x02^{-x} \to 0,因此 f(x)+f(x) \to +\infty
    • xx \to -\infty 时,2x2^{-x} 迅速增大,而 2x02^x \to 0,因此 f(x)f(x) \to -\infty

    由于 f(x)f(x) 的值域为 (,+)(-\infty, +\infty),它不是有界函数,选项 C 错误。

  3. 判断周期性

    f(x)f(x) 为周期函数,则存在 T>0T>0 使得: f(x+T)=f(x)f(x+T) = f(x)
    即: 2x+T2(x+T)=2x2x2^{x+T} - 2^{-(x+T)} = 2^x - 2^{-x}
    整理可得: 2x(2T2T)=2x2x2^x(2^T - 2^{-T}) = 2^x - 2^{-x}
    即: 2x(2T2T1)=2x2^x(2^T - 2^{-T} - 1) = -2^{-x}
    由于 2x2^x 不恒为 0,要求恒成立,则 2T2T1=02^T - 2^{-T} - 1 = 0。 该方程无满足 T>0T>0 的解,因此 f(x)f(x) 不是周期函数,选项 D 错误。


设函数 y=y(x)y = y(x) 由方程 ex+y+x2y=1e^{x+y} + x^2y = 1 确定,则 dydxx=0=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \big |_{x=0} = (____)

  • A. ee
  • B. e-e
  • C. 1-1
  • D. 11
答案解析

答案:C. 1-1

考点解析:

解题思路:

  1. x=0x=0 时的 yy: 将 x=0x=0 代入原方程得:

    e0+y+02y=1    ey=1    y=0.e^{0 + y} + 0^2 \cdot y = 1 \implies e^y = 1 \implies y = 0.

    指数运算规则 规定,对任何非零实数 aa,有: a0=1(a0)a^0 = 1 \quad (a \neq 0)

  2. 对原方程两边关于 xx 求导

    ddx(ex+y+x2y)=ddx(1)ddxex+y+ddx(x2y)=0\begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( e^{x+y} + x^2 y \right) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} (1) \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} e^{x+y} + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2 y) &= 0 \end{align*}
    • 第一项求导( 链式法则

      ddxex+y=ex+y(1+dydx)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} e^{x+y} = e^{x+y} \cdot \left(1 + \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)
    • 第二项求导( 乘积法则

      ddx(x2y)=2xy+x2dydx\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(x^2 y) = 2x y + x^2 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}

    将两部分合并,得方程:

    ex+y(1+dydx)+2xy+x2dydx=0e^{x+y} \left(1 + \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\right) + 2x y + x^2 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0
  3. 代入 x=0x=0y=0y=0

    • e0+0=1e^{0+0} = 1200=02 \cdot 0 \cdot 0 = 002=00^2 = 0

    • 方程化简为:

      1(1+dydx)+0+0=0    1+dydx=01 \cdot \left(1 + \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right) + 0 + 0 = 0 \implies 1 + \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0
    • 解得:

      dydxx=0=1\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \bigg|_{x=0} = -1

x0x \rightarrow 0 时, 1xsinx1\sqrt{1 - x \sin x} - 1x2x^2 的(____)

  • A. 高阶无穷小
  • B. 同阶不等价无穷小
  • C. 低阶无穷小
  • D. 等价无穷小
答案解析

答案:B. 同阶不等价无穷小

考点解析: 无穷小的比较

解题思路: 可通过极限判断无穷小的阶数和等价性。

limx01xsinx1x2\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1 - x \sin x} - 1}{x^2}
  1. 有理化分子

    分子 1xsinx1\sqrt{1 - x \sin x} - 1 包含根号,直接代入 x=0x=0 会导致 00\frac{0}{0} 型未定式。 为了消除根号,采用 有理化 技巧:

    • 分子有理化:乘以共轭表达式 1xsinx+1\sqrt{1 - x \sin x} + 1,即:

      1xsinx1x21xsinx+11xsinx+1\frac{\sqrt{1 - x \sin x} - 1}{x^2} \cdot \frac{\sqrt{1 - x \sin x} + 1}{\sqrt{1 - x \sin x} + 1}
    • 分子展开

      (1xsinx1)(1xsinx+1)=(1xsinx)1=xsinx(\sqrt{1 - x \sin x} - 1)(\sqrt{1 - x \sin x} + 1) = (1 - x \sin x) - 1 = -x \sin x

      平方差公式

    • 分母展开

      x2(1xsinx+1)x^2 \left( \sqrt{1 - x \sin x} + 1 \right)

    最终表达式变为:

    limx0xsinxx2(1xsinx+1)\lim_{x \rightarrow 0} \frac{-x \sin x}{x^2 \left( \sqrt{1 - x \sin x} + 1 \right)}
  2. 简化极限

    1. 约分 xx: 分子中的 xx 与分母中的 x2x^2 约分后,分母剩余一个 xx,分子变为 sinx-\sin x。 表达式简化为:

      limx0sinxx(1xsinx+1)\lim_{x \rightarrow 0} \frac{-\sin x}{x \left( \sqrt{1 - x \sin x} + 1 \right)}
    2. 等价无穷小替换

      • x0x \rightarrow 0 时,sinxx\sin x \sim x,即 sinxx1\frac{\sin x}{x} \rightarrow 1。 (第一个重要极限

      • 分母中的 1xsinx+1\sqrt{1 - x \sin x} + 1

        • x0x \rightarrow 0 时,xsinxx2x \sin x \approx x^2(因为 sinxx\sin x \approx x),因此 1xsinx1x21x22\sqrt{1 - x \sin x} \approx \sqrt{1 - x^2} \approx 1 - \frac{x^2}{2}

        • 此处无需展开到高阶项,因为分母整体 1xsinx+1\sqrt{1 - x \sin x} + 1 的极限为:

          10+1=1+1=2.\sqrt{1 - 0} + 1 = 1 + 1 = 2.
    3. 代入极限

      • 分子 sinxx-\sin x \sim -x,分母 x2x \cdot 2

      • 极限简化为:

        limx0xx2=limx012=12.\lim_{x \rightarrow 0} \frac{-x}{x \cdot 2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}.

极限结果为非零常数 12-\frac{1}{2},说明:

  • 1xsinx1\sqrt{1 - x \sin x} - 1x2x^2 的比值为常数,即 同阶无穷小
  • 但比值不等于 11,故 不等价

f(x0)=1f'(x_0) = 1 ,则 limh0=f(x0+2h)f(x03h)h=\lim \limits_{h \rightarrow 0} = \frac{f(x_0 + 2h) - f(x_0 - 3h)}{h} = (____)

  • A. 66
  • B. 55
  • C. 44
  • D. 33
答案解析

答案:B. 55

考点解析: 导数的定义

解题思路:

  1. 拆分分子

    f(x0+2h)f(x03h)h=f(x0+2h)f(x0)h+f(x0)f(x03h)h.\frac{f(x_0 + 2h) - f(x_0 - 3h)}{h} = \frac{f(x_0 + 2h) - f(x_0)}{h} + \frac{f(x_0) - f(x_0 - 3h)}{h}.
  2. 处理第一个差商

    f(x0+2h)f(x0)h=2f(x0+2h)f(x0)2h.\frac{f(x_0 + 2h) - f(x_0)}{h} = 2 \cdot \frac{f(x_0 + 2h) - f(x_0)}{2h}.

    h0h \to 0 时,2h02h \to 0,根据导数定义:

    limh02f(x0+2h)f(x0)2h=2f(x0)=2×1=2\lim_{h \to 0} 2 \cdot \frac{f(x_0 + 2h) - f(x_0)}{2h} = 2f'(x_0) = 2 \times 1 = 2
  3. 处理第二个差商

    f(x0)f(x03h)h=3f(x0)f(x03h)3h\frac{f(x_0) - f(x_0 - 3h)}{h} = 3 \cdot \frac{f(x_0) - f(x_0 - 3h)}{3h}

    h0h \to 0 时,3h0-3h \to 0,根据导数定义:

    limh03f(x0)f(x03h)3h=3f(x0)=3×1=3\lim_{h \to 0} 3 \cdot \frac{f(x_0) - f(x_0 - 3h)}{3h} = 3f'(x_0) = 3 \times 1 = 3
  4. 合并结果

    limh0f(x0+2h)f(x03h)h=2+3=5\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + 2h) - f(x_0 - 3h)}{h} = 2 + 3 = 5

曲线 y=x2y = x^2 与直线 y=1y = 1 所围成图形的面积是(____)

  • A. 23\frac{2}{3}
  • B. 34\frac{3}{4}
  • C. 43\frac{4}{3}
  • D. 11
答案解析

答案:C. 43\frac{4}{3}

考点解析:

  1. 定积分的几何应用 :通过积分计算曲线与直线围成的面积。
  2. 对称性的应用:利用偶函数的对称性简化计算。
  3. 积分上下限的确定:通过联立方程求交点以确定积分区间。

解题思路:

  1. 求交点

    x2=1    x=±1x^2 = 1 \implies x = \pm 1

    积分区间为 [1,1][-1, 1]

  2. 设定积分表达式

    面积=11(1x2)dx\text{面积} = \int_{-1}^{1} \left( 1 - x^2 \right) \, dx
  3. 应用对称性简化计算

    面积=201(1x2)dx\text{面积} = 2 \int_{0}^{1} \left( 1 - x^2 \right) \, dx
  4. 计算积分

    (1x2)dx=xx33+C\int \left( 1 - x^2 \right) \, dx = x - \frac{x^3}{3} + C

    代入上下限 0011

    [xx33]01=(113)(00)=23\left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - \left( 0 - 0 \right) = \frac{2}{3}
  5. 乘以对称因子

    面积=2×23=43\text{面积} = 2 \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3}

方程 y3y=0y' -3y = 0 的通解是(____)

  • A. y=e3x+Cy = e^{-3x + C}
  • B. y=Ce3xy = C e^{3x}
  • C. y=Ce3xy = C e^{-3x}
  • D. y=Cex+3y = C e^{x+3}
答案解析

答案:B. y=Ce3xy = C e^{3x}

考点解析:

  1. 一阶线性齐次微分方程的解法
  2. 分离变量法 或积分因子法的应用;
  3. 指数函数在微分方程解中的形式。

解题思路:

  1. 方程整理
    原方程为 y3y=0y' - 3y = 0,可改写为 dydx=3y\frac{dy}{dx} = 3y

  2. 分离变量
    将方程分离变量得:

    dyy=3dx\frac{dy}{y} = 3 \, dx
  3. 积分运算
    对两边积分:

    1ydy=3dx\int \frac{1}{y} \, dy = \int 3 \, dx

    左边积分结果为 lny\ln|y|,右边为 3x+C3x + CCC 为常数),即:

    lny=3x+C\ln|y| = 3x + C
  4. 解出 yy
    取指数函数消去自然对数:

    y=e3x+C=eCe3xy = e^{3x + C} = e^C \cdot e^{3x}

    C=eCC = e^C(仍为任意常数),通解为:

    y=Ce3xy = C e^{3x}

设方程 e2z=xyze^{2z} = xyz 确定函数 z=f(x,y)z = f(x, y) ,则 zx=\frac{\partial z}{\partial x} = (____)

  • A. zx(2x1)\frac{z}{x(2x - 1)}
  • B. zx(2x+1)\frac{z}{x(2x + 1)}
  • C. yx(2x1)\frac{y}{x(2x - 1)}
  • D. yx(2x+1)\frac{y}{x(2x + 1)}
答案解析

答案:A. zx(2x1)\frac{z}{x(2x - 1)}

考点解析:

  1. 隐函数求导法
  2. 链式法则
  3. 代数表达式的化简与替换。

解题思路:

  1. 将原方程改写为隐函数形式 F(x,y,z)=e2zxyz=0F(x, y, z) = e^{2z} - xyz = 0,分别求 偏导数

    • Fx=Fx=yzF_x = \frac{\partial F}{\partial x} = -yz
    • Fz=Fz=2e2zxyF_z = \frac{\partial F}{\partial z} = 2e^{2z} - xy
  2. 根据隐函数定理公式计算偏导数:

    zx=FxFz=yz2e2zxy=yz2e2zxy\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z} = -\frac{-yz}{2e^{2z} - xy} = \frac{yz}{2e^{2z} - xy}
  3. 利用原方程 e2z=xyze^{2z} = xyz 替换 2e2z2e^{2z}

    2e2z=2xyz2e2zxy=xy(2z1)2e^{2z} = 2xyz \quad \Rightarrow \quad 2e^{2z} - xy = xy(2z - 1)
  4. 代入原方程化简表达式,消去中间变量 e2ze^{2z}

    zx=yzxy(2z1)=zx(2z1)\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{yz}{xy(2z - 1)} = \frac{z}{x(2z - 1)}

微分方程 y+2y+2y=0y'' + 2y' + 2y = 0 的通解为(____)

  • A. y=C1+C2exy = C_1 + C_2 e^{-x}
  • B. y=C1ex+C2exy = C_1 e^x + C_2 e^{-x}
  • C. y=ex(C1cosx+C2sinx)y = e^{-x} (C_1 \cos x + C_2 \sin x)
  • D. y=ex(C1cosx+C2sinx)y = e^x (C_1 \cos x + C_2 \sin x)
答案解析

答案:C. y=ex(C1cosx+C2sinx)y = e^{-x} (C_1 \cos x + C_2 \sin x)

考点解析:

  1. 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 通过特征方程法求解通解。
  2. 复数根情形下的通解形式 特征方程为共轭复数根时,通解为指数函数与三角函数的组合。

解题思路:

  1. 写出特征方程

    将微分方程 y+2y+2y=0y'' + 2y' + 2y = 0 中的 yy''yy'yy 分别替换为 r2r^2rr11,得到特征方程:

    r2+2r+2=0r^2 + 2r + 2 = 0
  2. 求解特征根

    使用求根公式 r=b±b24ac2ar = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},代入 a=1a=1b=2b=2c=2c=2,计算判别式:

    Δ=22412=4\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -4

    由于判别式为负数,特征根为一对共轭复数:

    r=2±42=1±ir = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = -1 \pm i
  3. 根据复数根写出通解

    当特征根为 α±βi\alpha \pm \beta i 时,通解为:

    y=eαx(C1cos(βx)+C2sin(βx))y = e^{\alpha x} \left( C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x) \right)

    此处 α=1\alpha = -1β=1\beta = 1,因此通解为:

    y=ex(C1cosx+C2sinx)y = e^{-x} \left( C_1 \cos x + C_2 \sin x \right)

设区域 D={(x,y)1x2+y29}D = \{ (x, y) \, | \, 1 \leq x^2 + y^2 \leq 9 \} ,则二重积分 Dx2+y2dxdy=\iint \limits_D \sqrt{x^2 + y^2} \mathrm{d} x \mathrm{d} y = (____)

  • A. 02πdθ13r2dr\int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_1^3 r^2 \mathrm{d} r
  • B. 02πdθ19r2dr\int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_1^9 r^2 \mathrm{d} r
  • C. 02πdθ13rdr\int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_1^3 r \mathrm{d} r
  • D. 02πdθ19rdr\int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_1^9 r \mathrm{d} r
答案解析

答案:A. 02πdθ13r2dr\int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_1^3 r^2 \mathrm{d} r

考点解析:

  1. 极坐标系下的二重积分转换 : 将笛卡尔坐标系下的二重积分转换为极坐标系。
  2. 面积元素的极坐标形式dxdyrdrdθ\mathrm{d} x \mathrm{d} y \rightarrow r \, \mathrm{d} r \, \mathrm{d} \theta
  3. 积分区域的极坐标描述:根据区域 DD 的几何形状确定 rrθ\theta 的范围。

解题思路:

  1. 区域 DD 是环形区域 1x2+y291 \leq x^2 + y^2 \leq 9,对应极坐标下 1r31 \leq r \leq 3θ[0,2π]\theta \in [0, 2\pi]
  2. 被积函数 x2+y2\sqrt{x^2 + y^2} 在极坐标下为 rr
  3. 结合面积元素 rdrdθr \, dr \, d\theta,被积函数变为 rr=r2r \cdot r = r^2

将积分转换为极坐标形式:

Dx2+y2dxdy=02π13rrdrdθ=02πdθ13r2dr\iint \limits_D \sqrt{x^2 + y^2} \, \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \int_0^{2\pi} \int_1^3 r \cdot r \, \mathrm{d} r \, \mathrm{d} \theta = \int_0^{2\pi} \mathrm{d} \theta \int_1^3 r^2 \, \mathrm{d} r